Μαθηματικά Προβλήματα στην Αρχαιότητα

Η τριχοτόμηση τυχούσας γωνίας

Η αρχαιότερη γνωστή μέθοδος για την τριχοτόμηση μιας γωνίας είναι αυτή που γίνεται με μία καμπύλη την οποία θα ονομάζουμε τριχοτομούσα. Η κατασκευή της καμπύλης αυτής περιγράφεται από τον Πάππο ως εξής: Ξεκινώντας από το τετράγωνο ΑΒΓΔ, ας φανταστούμε την ευθεία ΒΑ να μετατοπίζεται παράλληλα με σταθερή ταχύτητα προς τα κάτω μέχρι να συμπέσει με τη ΓΔ και, ταυτόχρονα, την ευθεία ΓΒ να περιστρέφεται ομαλά, μέσα στο τετράγωνο, γύρω από το σταθερό άκρο Γ μέχρι να συμπέσει και αυτή, στον ίδιο χρόνο, με τη ΓΔ. Η τριχοτομούσα είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο τομής των δύο κινούμενων ευθειών.

Η κατασκευή της τριχοτομούσας και η χρησιμοποίηση της για την επίλυση του

προβλήματος της τριχοτόμησης μιας τυχούσας γωνίας αποδίδεται από ορισμένους ιστορικούς των μαθηματικών στο σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (τέλος 5ου π.Χ. αϊ.), τον οποίο ο Πλάτων στον Πρωταγόρα τον παρουσιάζει ως υπέρμαχο της υποχρεωτικής εκπαίδευσης στους τέσσερις κλάδους της τετρακτυος (αριθμητική, γεωμετρία, μουσική, αστρονομία). Ο Πάππος χρησιμοποιεί για την καμπύλη αυτή την ονομασία τετραγωνίζουσα, λόγω του ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί επίσης για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου, αποδίδει δε αυτή την τελευταία εφαρ­μογή της στους μαθηματικούς Δεινόστρατο (μέσα 4ου π.Χ. αϊ.) και Νικομήδη (ύστε­ρος 3ος π.Χ. αϊ.). Φαίνεται, λοιπόν, ότι η καμπύλη επινοήθηκε αρχικά για την επίλυση του προβλήματος της τριχοτόμησης μιας τυχούσας γωνίας και αργότερα διαπιστώθηκε ότι η ίδια καμπύλη μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου.  

Ο διπλασιασμός τον κύβου

Ενώ για την προέλευση του προβλήματος της τριχοτόμησης της γωνίας δεν υπάρχει καμία  πληροφορία, αντίθετα για τον διπλασιασμό του κύβου υπάρχει ένα πλήθος-«( από λεπτομερείς αφηγήσεις. Δύο από τις αφηγήσεις αυτές, με συγγραφείς τους σχολιαστές Θεωνά το Σμυρναίο και Ευτόκιο, φέρονται να έχουν ως πηγή κείμενα του Ερατοσθένη, διευθυντή της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας τον 3ο π.Χ. αιώνα. Συγκεκριμένα, η αφήγηση του Θεωνά φαίνεται ότι βασίζεται σε ένα χαμένο διάλογο  με τον  τίτλο Πλατωνικός, ενώ ο Ευτόκιος φέρεται να παραθέτει αυτούσια μια επιστολή του Ερατοσθένη προς το βασιλιά Πτολεμαίο. Από τη συνεργασία των ιστορικούς  των μαθηματικών με επιστήμονες άλλων ειδικοτήτων (φιλολόγους, ιστορικούς, αρχαιολόγους κτλ.) αποδείχθηκε ότι η επιστολή δεν είναι γνήσια (ενδέχεται να μην  έγραψε καν ο Ερατοσθένης), όμως δεν υπάρχει λόγος να αμφιβάλλουμε σχετικά  με την αξιοπιστία τον πληροφοριών που περιέχει.

Το πιο σημαντικό περιστατικό στην ιστορία του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου ήταν η αναγωγή του, από τον Ιπποκράτη, στο πρόβλημα της εύρεσης όϊ)ο μέσων αναλόγων. Πράγματι, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, αν κατασκευαστούν δύο μέσες ανάλογοι χ και ψ μεταξύ των ευθυγράμμων τμημάτων α και 2α, τότε ο κύβος με πλευρά χ θα είναι διπλάσιος του κύβου με πλευρά α. Από τότε που αποδείχθηκε το αποτέλεσμα αυτό, οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί επιδόθηκαν στην προσπάθεια επίλυσης του ισοδύναμου προβλήματος της εύρεσης δύο μέσων αναλόγων, προκειμένου έτσι να επιτύχουν και την επίλυση του αρχικού προβλήματος, του διπλασιασμού του κύβου.

Διατυπώθηκαν πολλές λύσεις του προβλήματος, άλλες θεωρητικές και άλλες μηχανικές. Στα αποσπάσματα από την «επιστολή» του Ερατοσθένη μνημονεύονται τέσσερις απ' αυτές (του Αρχύτα, του Ευδόξου, του Μέναιχμου και του ίδιου του Ερατοσθένη), ενώ ο συνολικός αριθμός των λύσεων που διασώζει ο σχολιαστής Ευτόκιος ξεπερνά τις δέκα. Η λύση του Μέναιχμου (μαθητή και συνεργάτη του Πλάτωνα) παρουσιάζει μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον, γιατί εγκαινιάζει μια ολόκληρη ερευνητική παράδοση στην ιστορία της γεωμετρίας, που κατέληξε στη διατύπωση της θεωρίας των κωνικών τομών.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου

Το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου ήταν πολύ δημοφιλές στην Αθήνα προς το τέλος του 5ου π.Χ. αϊ., αν κρίνουμε από το γεγονός ότι ακόμη και ο Αριστοφάνης διακωμωδεί στους Όρνιθες τις προσπάθειες επίλυσης του. Στην κοινή γλώσσα, μάλιστα, είχε γίνει συνώνυμο του «ακατόρθωτου».Το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου έγκειται στην εύρεση της πλευράς ενός τετραγώνου η επιφάνεια του οποίου είναι ίση με την επιφάνεια του κύκλου. Μια ενδιαφέρουσα εξέλιξη στις προσπάθειες επίλυσης αυτού του προβλήματος ήταν η αναγωγή του στο ισοδύναμο πρόβλημα της εύρεσης του μήκους της περιφέρειας. Η απόδειξη της ισοδυναμίας των δύο προβλημάτων δίνεται από τον Αρχιμήδη στη μικρή πραγματεία του με τον τίτλο Κύκλου μέτρησις, θεωρείται όμως βέβαιο ότι ήταν γνωστή ήδη από τα μέσα του 4ου π.Χ. αϊ., όταν ο Δεινόστρατος (αδελφός του Μέναιχμου) έλυσε το πρόβλημα της εύρεσης του μήκους της περιφέρειας, χρησιμοποιώντας την τετραγωνίζουσα, την καμπύλη που περιγράψαμε όταν συζητούσαμε το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας.

Το παραπάνω υλικό είναι από το βιβλίο Ιστορία των επιστημών και της τεχνολογίας Γ΄Λυκείου    των : Θεόδωρου Αραμπατζή , Κάστα Γαβρόγλου , Δημήτρη Διαλέτη , Γιάννη Χριστιανίδη , Νίκου Κανδεράκη , Στέλιου Βερνίκου

Ο.Ε.Δ.Β -Αθήνα 1999