Follow by Email

Κυριακή, 25 Δεκεμβρίου 2011

ΙΕΡΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Dimitris Evagelopoulos - Ieri Geometria

Τετάρτη, 21 Δεκεμβρίου 2011

Aυθεντικές σημειώσεις του Νέυτωνα, γραμμένες στα ελληνικά!

Η βιβλιοθήκη του πανεπιστημίου του Κέμπριτζ δημοσίευσε ένα ψηφιοποιημένο σημειωματάριο του Νέυτωνα, όσο αυτός ήταν προπτυχιακός φοιτητής στο Trinity College, από το 1661 έως το 1665 περίπου.
Περιλαμβάνει πολλές σημειώσεις από τις σπουδές του, αλλά και το σημαντικότερο, τις δικές του εξερευνήσεις στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μεταφυσική. Οι σημειώσεις κρίθηκε ότι «Δεν ταιριάζουν να τυπωθούν» από τον επιβλέποντα του Νεύτωνα και παρουσιάστηκαν στη βιβλιοθήκη από τον κόμη του Πόρτσμουθ το 1872.
Το σύνολο των σημειώσεων είναι γραμμένες στα ελληνικά! Μπορείτε να δείτε ολόκληρο το σημειωματάριο εδώ. 
 
Αυτό το σημειωματάριο περιέχει αρκετές κενές σελίδες και έχει χρησιμοποιηθεί από τον Νεύτωνα και από τις δύο πλευρές. Η παρουσίαση εμφανίζει το σημειωματάριο σε μια λογική σειρά ανάγνωσης και περιλαμβάνει ένα διάσημο τμήμα (σελίδες 88-135), όπου ο Νεύτωνας οργανώνει τις σημειώσεις του με τίτλο «Questiones quaedam philosophiae» (ορισμένα φιλοσοφικά ερωτήματα).

Παρασκευή, 16 Δεκεμβρίου 2011

ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΟΥ ΑΙΩΝΑ

Στα 70 του ο Ντικ Χόιτ κολυμπάει 3,8 χλμ., τρέχει 42.195 μ. και ποδηλατεί 180 χλμ. σερί, κουβαλώντας πάντοτε τον τετραπληγικό γιο του...

Εγραψα και έσβησα καμία 20αριά φορές την εισαγωγή.

Πως να ξεκινήσεις και πως να περιγράψεις κάτι τέτοιο; Τη λύση μου την έδωσε το ίδιο το απίστευτο βίντεο-ντοκουμέντο μίας ιστορίας για τη δύναμη που σου δίνει η αγάπη και έτσι η αρχή είναι το φινάλε. Αυτό δηλαδή που έγραψε ο Απόστολος Πάυλος στην επιστολή του προς Φιλιππισίους: «Μπορώ να κάνω τα πάντα μέσω αυτού που μου δίνει δύναμη!».

Δεν ξέρω εάν ο Ντικ Χόιτ πιστεύει στον Θεό ή γενικότερα σε κάτι ανώτερο του ανθρώπου. Η μήπως είναι η απύθμενη αγάπη για τον γιο του Ρικ που του έδωσε τη δύναμη να αισθάνεται ικανός να κινήσει ακόμα και βουνά. Ναι, ακόμα και αυτό να έπρεπε να κάνει, είναι βέβαιο πως θα έβρισκε τον τρόπο να το καταφέρει. Αυτό πάντως που τόλμησε για χάρη του παιδιού του, δεν έχει προηγούμενο. Όχι τουλάχιστον σε σχέση με τον αθλητισμό...
 Η ατυχία στη γέννα
Στις 16 Γενάρη του 1962, σε ένα νοσοκομείο της Μασαχουσέτης, η Τζούντι Χόιτ βίωσε την χειρότερη εμπειρία που θα μπορούσε να ζήσει μία επίδοξη μητέρα. Η γέννα ήταν δύσκολη, καθώς ο ομφάλιος λώρος είχε μπλεχτεί γύρω από το λαιμό του εμβρύου, σταματώντας την αιμάτωση του
εγκεφάλου τα πρώτα κρίσιμα λεπτά της ζωής του. Τελικά το αγοράκι έζησε, αλλά όπως είπαν αργότερα οι γιατροί στους γονείς του, δεν θα μπορούσε ποτέ ούτε να περπατήσει, ούτε να μιλήσει. Η ολιγόλεπτη αυτή στέρηση του οξυγόνου κατέστρεψε το τμήμα εκείνο του εγκεφάλου που ελέγχει την κίνηση των άκρων και της ομιλίας. Το μόνο που μπορούσε να κάνει ήταν να ελέγχει τις κινήσεις του κεφαλιού.

Οταν το μωρό έγινε εννέα μηνών και οι γονείς συνειδητοποίησαν πως ήταν τετραπληγικός, οι γιατροί τους πρότειναν να τον βάλουν σε ένα ειδικό ιατρικό κέντρο για παιδιά με τέτοια προβλήματα, όπου θα τύγχανε της καλύτερης δυνατής φροντίδας. Οι Χόιτ ήταν κατηγορηματικοί. Βλέπετε τα ματάκια του Ρικ ακολουθούσαν τις κινήσεις τους μέσα στο δωμάτιο. Δεν μπορούσαν να αποδεχθούν ότι το παιδί τους θα έμενε για πάντα “φυτό” και έτσι πήραν την δύσκολη απόφαση να τον μεγαλώσουν μαζί μαζί με τ’ αδέλφια του σαν ένα φυσιολογικό παιδί.

Η εφεύρεση
Όταν ο Ρικ έγινε 11 ετών, οι γονείς του τον πήγαν στο Πολυτεχνείο του Tufts University στη Βοστόνη και ζήτησαν από τους μηχανικούς να βοηθήσουν το παιδί να επικοινωνεί. Μόλις ο επικεφαλής καθηγητής είδε το παιδί, τους είπε: «Αδύνατον. Ο εγκέφαλος ενός τέτοιου παιδιού δεν μπορεί να δεχθεί τίποτε!» «Σας παρακαλώ, μιλήστε του. Πείτε του κάτι. Πείτε του ένα αστείο!» είπε, ο πατέρας. Ο καθηγητής διηγήθηκε στον Ρικ ένα ανέκδοτο και εκείνος γέλασε.

Λίγους μήνες αργότερα οι μηχανικοί του Tufts έφτιαξαν ένα σύστημα με το οποίο ο Ρικ με διάφορες κινήσεις του κεφαλιού μετακινούσε έναν κέρσορα, επιλέγοντας γράμματα και σχημάτιζε λέξεις στην οθόνη ενός υπολογιστή. Μια μέθοδος που μέχρι σήμερα έχει βγάλει αρκετές ψυχές από τη σιωπή τους.

«Μπαμπά θέλω να τρέξουμε για τον Στιβ»
Αργότερα πήγε στο σχολείο. Όταν ήταν 15 ετών, ένας συμμαθητής του τραυματίστηκε σε τροχαίο και το σχολείο οργάνωσε έναν αγώνα δρόμου 8 χιλιομέτρων προς τιμήν του. Όταν ο Ρικ γύρισε στο σπίτι, είπε στον πατέρα του: «Μπαμπά, θέλω να τρέξουμε για τον Στιβ». Ο Ντικ σάστισε. Δεν είχε τρέξει ποτέ πάνω από ένα χιλιόμετρο. Πώς θα έσπρωχνε ένα αναπηρικό καροτσάκι για οκτώ ολόκληρα χιλιόμετρα; Το δοκίμασαν. Και τα κατάφεραν!

Μετά την υπερπροσπάθεια ο Ντικ ήταν κατάκοπος. Και δεν ήταν μόνο αυτό. Είχε κάνει δύο stends, καθώς είχε προβλήματα με την καρδιά του. «Μπαμπά, όταν τρέχαμε, ένιωθα ότι δεν είμαι πια παράλυτος. Ένιωθα να τρέχω κι εγώ μαζί σου!», του είπε ο πιτσιρικάς και σαν όλα να γιατρεύτηκαν για τον πατέρα που αποφάσισε να τρέχει μαζί με το γιο του όσο πιο συχνά μπορούσε. Άρχισαν εντατική προπόνηση και δυο χρόνια αργότερα ήταν έτοιμοι για το μεγάλο αθλητικό γεγονός. Το μαραθώνιο της Βοστόνης του 1979. Έτρεξαν και τερμάτισαν!

Ο «σιδερένιος» άνδρας
Η επόμενη πρόκληση ήταν το τρίαθλο (τρέξιμο 10 χλμ., ποδηλασία 40χλμ. και κολύμπι 1.5 χλμ.). Ο Ντικ αποφάσισε να το δοκιμάσει κι αυτό. Και όσο ανέβαζε τον πήχη και δοκίμαζε πιο δύσκολες διοργανώσεις, τόσο ο Ρικ ένιωθε λιγότερο την τετραπληγία του. Γίνονται πολλές διοργανώσεις τριάθλου ανά τον κόσμο σε διάφορες αποστάσεις. Η κορυφαία όμως δοκιμασία για υπεραθλητές ψυχής είναι το λεγόμενο Ironman τρίαθλο (3,8 χλμ. κολύμπι, μαραθώνιος 42.195 μ. Τρέξιμο, 180 χλμ. ποδηλασία), που διεξάγεται στη Χαβάη. Πρόκειται για δοκιμασία 15 ωρών για σώμα και ψυχή γι’ αυτούς που αποδεικνύουν ότι η θέληση μπορεί να νικήσει τη σωματική εξάντληση.

Ο Ντικ το επιχείρησε έξι φορές. Και τερμάτισε και τις έξι! Από το 1979 που συμμετείχαν στο μαραθώνιο της Βοστόνης, ο Ντικ και ο Ρικ Χόιτ (Team Χόιτ) συμμετείχαν σε 958 αθλητικά γεγονότα. Το 1992 τερμάτισαν με χρόνο 2 ώρες και 40 λεπτά, 35 λεπτά πάνω από το παγκόσμιο ρεκόρ. Τότε κάποιοι παρότρυναν τον Ντικ να τρέξει μόνος του, μιας και ήταν σίγουρο ότι θα κατέγραφε χρόνο μέσα στους καλύτερους του κόσμου. Η απάντηση του Ντικ ήταν άμεση και μονολεκτική. ΟΧΙ. Τρέχω για να αισθάνεται καλύτερα ο γιος μου και όχι για το ρεκόρ.

Ο Ρικ κατάφερε να κερδίσει μια θέση στο πανεπιστήμιο και όταν αποφοίτησε, δέχθηκε την πρόταση του πανεπιστημίου για να εργαστεί στις υπηρεσίες του, όπου και βρίσκεται μέχρι σήμερα. Ο Ντικ ανακηρύχθηκε ο ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΟΥ ΑΙΩΝΑ και πλέον στα 70 του συνεχίζει να λαμβάνει μέρος σε μαραθώνιους και τρίαθλα, όποτε οι υποχρεώσεις του Ρικ το επιτρέπουν. Μάλιστα πρόσφατα ο γιατρός χτύπησε το καμπανάκι στον πατέρα: «Εάν συνεχίσεις, θα πάθεις έμφραγμα», για να πάρει την ασυνήθιστη, μα άκρως αναμενόμενη για την περίπτωση του απάντηση: «Θα τρέχω με τον Ρικ μέχρι να πεθάνω!»

Πριν από λίγο καιρό, σε μια τηλεοπτική συνέντευξη των Χόιτ ρώτησαν τον Ρικ, μετά απ’ όλα αυτά, τι δώρο θα ήθελε να κάνει στον πατέρα του. Ο Ρικ έγραψε στον υπολογιστή: «Θα ήθελα, έστω και για μία φορά, να καθίσει ο πατέρας μου στο καροτσάκι και να τον σπρώχνω εγώ»!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Δευτέρα, 5 Δεκεμβρίου 2011

Έρευνα – σοκ! www=666;

Το «www» στα Εβραϊκά ισούται με 666 (w=6). Παρόμοια αντιστοίχιση εμφανίζει όμως και στα ελληνικά, διότι βάσει των αρχείων που παραθέσαμε προηγουμένως, το w θεωρείται σαν δίγαμα (=2*3=6). Μη πανικοβάλλεστε όμως! Διαχειριστής  του διαδικτύου δεν είναι αποδεδειγμένα ο Αντίχριστος, αλλά ίσως αποτελεί σημάδι της εποχής που θα φέρει τον Αντίχριστο. Διότι κάθε 666άρι δεν έπεται ότι είναι κακό! Εξαρτάται από τον τρόπο που χρησιμοποιείται.
Υπάρχει ένα ιδιαίτερο στοιχείο που πρέπει να ληφθεί υπ’ όψιν μας για να κρίνουμε αν πρέπει να λάβουμε σαν σημείο (σημάδι) των καιρών το γεγονός ότι διαφημίζεται στις ημέρες μας όχι μόνο το 666, αλλά επί πλέον ότι υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ www και 666. Και αυτό είναι, ότι μέσω ιντερνέτ διεξάγεται ένα πολύ σημαντικό μέρος του εμπορίου!
Και όσο πάει αυτό αυξάνει λογαριθμικά. Επομένως όταν επίσημα δεν θα μπορεί κανείς να αγοράζει και να πωλεί, παρά μόνο όσοι έχουν το 666, τότε ούτε μέσω ιντερνέτ θα μπορεί να υπάρξει αγοραπωλησία για τους Χριστιανούς, επειδή ο Αντίχριστος θα έχει μπλοκάρει για τον εαυτό του και το ιντερνέτ. Μπορεί μάλιστα πριν προχωρήσει κάποιος σε αγοραπωλησία να ερωτάται αν αποδέχεται να δώσει ισόθεες τιμές, μέσω της φωτογραφίας του, στον Αντίχριστο, και μετά να του επιτρέπεται η εμπορική συναλλαγή.
Όπως όλα τα σφραγισμένα προϊόντα φέρουν το «666» και θα είναι προσιτά μόνο στους αντίχριστους ανθρώπους της εποχής εκείνης, το ίδιο θα γίνεται και με το ιντερνέτ. Η διακίνηση του χρήματος μέσω του διαδικτύου θα επιτρέπεται μόνο σε όσους έχουν σφραγισθεί, και έχουν έτσι ένα έγκυρο αριθμό συναλλαγής, που μπορεί να ελέγχεται με σκανάρισμα του χεριού ή του μετώπου πριν ή και κατά την παραλαβή των παραγγελμένων προϊόντων.
Επομένως, όσο και αν φαίνεται παράλογο πρέπει να λάβουμε σοβαρά υπ’ όψιν μας  την προειδοποιητική πλευρά της αντιστοιχίας μεταξύ www και 666. Μάλιστα το www δεν είναι τρία απλά γράμματα που πατάμε πριν μπούμε στο internet. Είναι μια ολόκληρη υπηρεσία η οποία καλείται με αυτόν τον κωδικό για να μας επιτρέψει την χρησιμοποίηση του internet.
Όταν ευφημίζεται το 666, τότε γίνεται αντιληπτό ότι μπήκαμε στην τελική περίοδο των γεγονότων της Αποκαλύψεως, όχι όμως και στα χρόνια της εμφάνισης του τελικού Αντιχρίστου.
Το καμπανάκι κινδύνου μέσω της εμφάνισης στο προσκήνιο του συστήματος barcode, ή όπως αλλιώς λέγεται «συστήματος 666» λόγω της ύπαρξης επάνω του των τριών εξαριών οδηγών, ιδιαίτερα εμφανών στο Ευρωπαϊκό πρότυπο, ηχεί έντονα στις μέρες.  Δεν είχε ποτέ μαζικά χρησιμοποιηθεί αυτός ο αριθμός, όπως τώρα που εμφανίζεται σε όλα σχεδόν τα προϊόντα και τις προσφερόμενες υπηρεσίες. Όταν το χρήμα μάλιστα, όπως λέγεται, γίνει πλαστικό, χωρίς μετρητά, και κατόπιν μέσα σε εμφυτευμένο υποδόριο τσιπ, η εξάπλωση του 666 θα είναι ανεξέλεγκτη. Ήδη στην Ασία έχει ξεκινήσει η προβολή μιας νέας μορφής συναλλαγής, μέσω «έξυπνων καρτών», που θα χρησιμοποιούνται από την κινητή τηλεφωνία για συναλλαγές μικρού ύψους (αρχικά μικρότερες των 25$), χωρίς υπογραφή κατόχου ή pin. Το ερώτημα που πλανάται είναι αν τελικά το νέο αυτό σύστημα θα καταφέρει να εφαρμοστεί παγκοσμίως!

Σάββατο, 3 Δεκεμβρίου 2011

Ηλιακό μπουκάλι-λάμπα «φωτίζει» τα φτωχά νοικοκυριά με νερό και χλωρίνη


Εκατομμύρια άνθρωποι στις Φιλιππίνες ζουν στο ημίφως. Το κόστος της ηλεκτρικής ενέργειας είναι τόσο υψηλό και τα εισοδήματα τόσο χαμηλά που πολλοί άνθρωποι, ιδιαίτερα στις φτωχές περιοχές, καταφεύγουν σε κεριά ή σε λάμπες κηροζίνης, με συνέπεια να κινδυνεύει συχνά η ασφάλειά τους...
Η πρόσβαση στο ηλεκτρικό ρεύμα 24 ώρες το εικοσιτετράωρο είναι κάτι που οι περισσότεροι από εμάς θεωρούμε δεδομένο, αλλά δεν είναι έτσι για εκατομμύρια συνανθρώπους μας: ειδικά σε μια χώρα όπως οι Φιλιππίνες, όπου το μεροκάματο δεν ξεπερνά τα 75 λεπτά του Ευρώ.
Παρόλα αυτά φοιτητές του ΜΙΤ και ο Mac Diaz, καινοτόμος ιδρυτής του ιδρύματος MyShelter Foundation, πρότειναν μια εναλλακτική λύση: το ηλιακό μπουκάλι-λάμπα (Solar Bottle Bulb).
Το μόνο που χρειάζεται είναι ένα πλαστικό μπουκάλι, λίγη χλωρίνη και ο ήλιος.
Για να δημιουργηθεί η λάμπα, οι φοιτητές σχεδίασαν ένα ειδικό μπουκάλι του ενάμιση λίτρου, το γέμισαν με νερό και χλωρίνη και το “σφήνωσαν” στην τρύπα μιας μεταλλικής οροφής. Το ηλιακό φως διαθλάται μες το υγρό και δημιουργεί καθαρή ακτινοβολία ισοδύναμη με 55 ή 60 βατ καθαρού λευκού φωτός. Η χλωρίνη εμποδίζει τη δημιουργία άλγης. Τα μπουκάλια δεν θερμαίνονται και είναι σχεδιασμένα να παράγουν καθαρό φως για πέντε χρόνια.
Το ίδρυμα MyShelter Foundation μοιράζει αυτή τη στιγμή χιλιάδες από αυτά τα μπουκάλια σε φτωχά νοικοκυριά στις Φιλιππίνες.
Το πρόγραμμα “Ένα λίτρο φως” είναι ένα σχέδιο βιώσιμου φωτισμού με στόχο τη βοήθεια των άπορων κοινοτήτων. Ο οργανισμός φιλοδοξεί να φωτίσει ένα εκατομμύριο νοικοκυριά μέχρι το 2012.

Πέμπτη, 24 Νοεμβρίου 2011

Η Κρυπτογραφία του 5ου αιώνα π.Χ.


Η πρώτη στρατιωτική χρήση της κρυπτογραφίας αποδίδεται στους   Σπαρτιάτες. Γύρω στον 5ο π.Χ. αιώνα εφηύραν την «σκυτάλη», την   πρώτη κρυπτογραφική συσκευή, στην οποία χρησιμοποίησαν για την κρυπτογράφηση την μέθοδο της αντικατάστασης. Όπως αναφέρει ο Πλούταρχος, η «Σπαρτιατική Σκυτάλη», ήταν μια ξύλινη ράβδος, ορισμένης διαμέτρου, γύρω από την οποία ήταν τυλιγμένη ελικοειδώς μια λωρίδα περγαμηνής.
Το κείμενο ήταν γραμμένο σε στήλες, ένα γράμμα σε κάθε έλικα, όταν δε ξετύλιγαν τη λωρίδα, το κείμενο ήταν ακατάληπτο εξαιτίας της ανάμειξης των γραμμάτων. Το «κλειδί» ήταν η διάμετρος της σκυτάλης.

Τετάρτη, 23 Νοεμβρίου 2011

Μικρά κατασκοπευτικά έντομα στον αμερικάνικο στρατό



Η Αμερικανική Πολεμική Αεροπορία αποφάσισε να ενισχύσει τις δυνάμεις της όχι με νέα μαχητικά αεροσκάφη και υπερσύγχρονο στρατιωτικό εξοπλισμό αλλά με …μικροσκοπικά έντομα!
Με εμφάνιση που παραπέμπει σε πραγματικά ζωύφια και μικροσκοπικό μέγεθος, τα νέα ιπτάμενα έντομα σκοπεύουν να χρησιμοποιηθούν για την παρακολούθηση του εχθρού, φυσικά εν αγνοία του. Σύμφωνα με πηγές, τα κατασκοπευτικά ζωύφια βρίσκονται ήδη σε προχωρημένο στάδιο ανάπτυξης, ενώ μόλις ολοκληρωθούν, η διάκριση τους από τα πραγματικά έντομα θα είναι πρακτικά αδύνατη με γυμνό μάτι.

Τρίτη, 22 Νοεμβρίου 2011

Περί της ύπαρξης του Θεού

Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg
Ο Καρτέσιος παρέχει τρία επιχειρήματα υπέρ της ύπαρξης του Θεού. Το πρώτο επιχείρημα, το ιδεολογικό, βασίζεται στην ιδέα που έχουμε για τον Θεό ως τέλειο ον. Ο Καρτέσιος θεωρεί πως αυτή η ιδέα δεν είναι δυνατό να προέρχεται από εμάς, εφόσον είμαστε πεπερασμένα και ατελή όντα. Δεν μπορεί λοιπόν παρά να προέρχεται από τον Θεό και συνεπώς ο Θεός υπάρχει. Στην ίδια πεποίθηση για τη σχέση αιτίου-αποτελέσματος βασίζεται και το δεύτερο επιχείρημα του Καρτέσιου για την ύπαρξη του Θεού, το οποίο συμβατικά ονομάζεται κοσμολογικό. Το επιχείρημα αυτό έχει ως εξής: έχω αποδείξει την ύπαρξή μου· ωστόσο το αίτιο της ύπαρξής μου δε θα μπορούσε να ήταν ο ίδιος μου ο εαυτός, εφόσον τότε «δεν θα αμφέβαλλα, δεν θα επιθυμούσα και δεν θα μου έλειπε τίποτα, διότι θα χορηγούσα στον εαυτό μου όλες τις τελειότητες των οποίων υπάρχει μέσα μου κάποια ιδέα, και έτσι θα ήμουν εγώ ο ίδιος Θεός»· επομένως το αίτιο της ύπαρξής μου είναι ο Θεός, άρα ο Θεός υπάρχει. Το τρίτο επιχείρημα, τέλος, το οποίο έχει καθιερωθεί να ονομάζεται οντολογικό, δεν αντλείται εκ των αποτελεσμάτων του Θεού (a posteriori), όπως τα δύο προηγούμενα, αλλά από την ίδια τη φύση του Θεού (a priori). Σύμφωνα με αυτό, στον Θεό κατηγορούνται όλες οι τελειότητες, μια εκ των οποίων είναι και η ύπαρξη, επομένως ο Θεός υπάρχει. Με άλλα λόγια, η ύπαρξη ανήκει στην ουσία του Θεού. Εφόσον, λοιπόν, κατά τον Καρτέσιο, η ύπαρξη του Θεού έχει αποδειχθεί, «αποκαθίσταται η εμπιστοσύνη στο lumen naturale [φυσικό φως], δηλαδή στην άμεση προφάνεια της έλλογης γνώσης, η οποία έτσι θεμελιώνεται οριστικά».

Λουκάς Χριστοφόρου: H επιστήμη φωτίζει το μεγαλείο του Θεού

Ένας από τους μεγαλύτερους σύγχρονους επιστήμονες του εικοστού αιώνα, ο κ. Λουκάς Χριστοφόρου, με βαθιά πίστη στο Θεό γίνεται τρανό παράδειγμα συμβίωσης πίστης - θρησκείας. Για μια ακόμα φορά επιβεβαιώνεται, από έναν κορυφαίο διεθνώς, επιστήμονα, ότι η πίστη είναι πέρα από την επιστήμη και ότι η επιστήμη μπορεί να πορευτεί και αυτή με την πίστη.


Οι τρεις βασικές Γεωμετρίες



1. Η Ευκλείδεια γεωμετρία ή Επιπεδομετρία
Η γεωμετρία αυτή είναι γνωστή από την αρχαία εποχή και  την   διατύπωσε ο Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης και η οποία στηρίζεται  στην εξής βασική αρχή:
«Όλες οι ευθείες τέμνονται ανά δύο εκτός από μια κατηγορία ευθειών που ονομάζονται παράλληλες, οι οποίες δεν τέμνονται ποτέ».
2. Η Γεωμετρία του Riemann ή Ελλειπτική Γεωμετρία .
Η γεωμετρία αυτή διατυπώθηκε από τον μαθηματικό Riemannκαι έχει την ακόλουθη αρχή:« Όλες οι ευθείες τέμνονται ανά δύο».
3. Η Γεωμετρία του Lobachevsky ή Υπερβολική Γεωμετρία.
Η γεωμετρία αυτή διατυπώθηκε από τον μαθηματικό Lobachevsky και έχει την ακόλουθη αρχή:     « Δεν υπάρχουν ευθείες που να τέμνονται ανά δύο».
Η Ευκλείδεια γεωμετρία συνδέεται άμεσα με την φύση, όπως την αντιλαμβανόμαστε, αφού η αρχή της είναι προφανής στις ανθρώπινες αισθήσεις.Ονομάζεται επίπεδη επειδή δίνει αποτελέσματα αν εφαρμόζεται στην επιφάνεια ενός επιπέδου (όσον αφορά τουλάχιστον τις δύο διαστάσεις). Όμως η θεωρία της γενικής σχετικότητας μας λέει ότι σε μεγάλες κλίμακες, όπως είναι το σύμπαν, η Ευκλείδεια γεωμετρία (αυτή που μαθαίνουμε στο σχολείο) δεν ισχύει. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η επιστήμη μέχρι σήμερα είναι σε ποια γεωμετρία από τις άλλες δύο υπακούει το σύμπαν και κατά πόσο απέχει από την επίπεδη. Το πρόβλημα αυτό είναι το επονομαζόμενο κοσμολογικό πρόβλημα.
Η γεωμετρία Riemann ονομάζεται ελλειπτική επειδή αναφέρεται σε  φυσικά συστήματα τα οποία ζουν στην επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς ( ή σφαίρας ειδικότερα). Ανάλογα η υπερβολική γεωμετρία αναφέρεται σε φυσικά συστήματα που ζουν στην επιφάνεια ενός σάγματος (σαμαριού). Το κοσμολογικό πρόβλημα προσπαθεί να απαντήσει στο ερώτημα: «το φυσικό σύστημα σύμπαν σε ποια από τις δύο επιφάνειες (ή υπερεπιφάνεια = επιφάνεια τριών, ή τεσσάρων μαζί με τον χρόνο, διαστάσεων) ζει? ».
Πηγή: www.physics4u.gr

Διασκεδαστικά Μαθηματικά: ▪ The Gate

Διασκεδαστικά Μαθηματικά: ▪ The Gate: Χρυσό ορθογώνιο Hans Hofmann: The Gate , 1959–60, λάδι σε καμβά.

Διασκεδαστικά Μαθηματικά: ▪ Οι πυραμίδες της Γκίζας

Διασκεδαστικά Μαθηματικά: ▪ Οι πυραμίδες της Γκίζας: Οι πυραμίδες της Γκίζας και το χρυσό ορθογώνιο.

Δευτέρα, 21 Νοεμβρίου 2011

Καταπληκτικά κόλπα στο μπιλιάρδο

Δείτε τι κάνει ο άνθρωπος


Ο Έλληνας καλύτερος μάγος του κόσμου! by fon1972

Ο Καλύτερος Φίλος του Ανθρώπου... Ιησούς Χριστός


Ο Καλύτερος Φίλος του Ανθρώπου... Ιησούς Χριστός by popi_vazeou

Ο πιο ευλύγιστος άνθρωπος του κόσμου


Ο πιο ευλύγιστος άνθρωπος του κόσμου by dinfo-gr

15 χρονών ο νεότερος φοιτητής στο Aριστοτέλειο Πανεπιστήμιο

Μικρός σε ηλικία και όμως θαυματουργός. Με έφεση στη ζωγραφική και τις Εφαρμοσμένες Τέχνες, κατόρθωσε να περάσει το… κατώφλι του ΑΠΘ σε ηλικία μόλις 15 ετών όντας ο νεότερος έλληνας φοιτητής.                          
Ένας δεκαπεντάχρονος Κύπριος που συγγενείς και φίλοι αποκαλούν “Νέο Πικάσο” εξασφάλισε μία θέση στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.
Το ταλαντούχο παιδί με το όνομα ç από το Καλό Χωριό Λάρνακας είναι μαθητής Β’ τάξης του Λυκείου “Βεργίνα” και ο νεαρότερος φοιτητής του Τμήματος Εικαστικών και Εφαρμοσμένων Τεχνών του ΑΠΘ.Με κλίση και ταλέντο στη ζωγραφική, ο Μιχάλης στα επτά του χρόνια παρακολουθούσε μαθήματα ζωγραφικής σε ιδιωτικό εργαστήριο.Οι γονείς του διέβλεψαν το ταλέντο του παιδιού τους και το βοήθησαν, ώστε να το αξιοποιήσει. O Μιχάλης Ψαράς πιστεύει ότι «οι γονείς του τον βοήθησαν ιδιαίτερα».
«Στα 15 μου χρόνια, με προτροπή των γονιών μου και των δασκάλων μου, έδωσα εξετάσεις στο Τμήμα Ειδικών και Εφαρμοσμένων Τεχνών, ως άτομο με ειδικό ταλέντο. Πέτυχα ανάμεσα σε 128 άτομα, στο σύνολο των 300 υποψηφίων».
Το ενδιαφέρον του μικρού θαυματουργού «Νέου Πικάσο» στρέφεται κυρίως στις Εφαρμοσμένες και Εικαστικές Τέχνες, ωστόσο θαυμάζει πολύ και τον κλάδο της Αρχιτεκτονικής. Είναι λάτρης Κύπριων καλλιτεχνών, αλλά έχει ξεχωρίσει ονόματα της παγκόσμιας ιστορίας της τέχνης, όπως ο Ντα Βίντσι, ο Πικάσο και ο Χένρι Μουρ.
Όταν τον αποκαλούν «Πικάσο», ο ίδιος αναφέρει ότι τον τιμά ιδιαίτερα και τον αντιμετωπίζει με ιδιαίτερη σεμνότητα και ταπεινότητα.
Προς το παρόν, είναι άριστος μαθητής, ολοκληρώνοντας την Α’ Λυκείου με 19 και 12/14, ενώ έκπληκτοι για το εισιτήριό του στο ΑΠΘ δηλώνουν και οι διευθυντές και καθηγητές στο σχολείο του.

Κυριακή, 20 Νοεμβρίου 2011

ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ


Μαθηματικά Γ΄ γενικού λυκείου


Μαθηματικά 
Γ΄ γενικού λυκείου

Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης





568 σελ.
[Κυκλοφορεί]
Τιμή € 22,43



Μαθηματικά 
Γ΄ γενικού λυκείου

Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης






718 σελ.
[Κυκλοφορεί]
Τιμή € 25,36



Το συγκεκριμένο βιβλίο (Β΄ τόμος), καθώς και το αντίστοιχο του Α΄ τόμου, είναι γραμμένο για τους μαθητές της Γ' τάξης Ενιαίου Λυκείου και αφορά την ύλη των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης.

Κάθε κεφάλαιο χωρίζεται σε παραγράφους, ενώ κάθε παράγραφος περιέχει:

- τη θεωρία, με πολλά σχόλια και παρατηρήσεις για την καλύτερη κατανόηση όλων των εννοιών.

- ιδιαίτερα μεγάλο αριθμό μεθοδοποιημένων λυμένων ασκήσεων: Αποτελεί το βιβλίο με το μεγαλύτερο πλήθος λυμένων ασκήσεων από όλα τα αντίστοιχα του είδους του.

- άλυτες ασκήσεις τύπου σωστό - λάθος, πολλαπλής επιλογής, αντιστοίχισης, συμπλήρωσης και πλήρους ανάπτυξης, των οποίων οι απαντήσεις δίνονται στο τέλος του βιβλίου.

- 113 γενικά επαναληπτικά θέματα εξετάσεων, των οποίων οι λύσεις δίνονται στο τέλος του βιβλίου.

Παρασκευή, 18 Νοεμβρίου 2011

Τα μαθηματικά των Αρχαίων Μινωιτών


Σύνθετες και πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις γνώριζαν να πραγματοποιούν οι Μινωίτες από τον 16ο αιώνα π.Χ. με κλάσματα και χρήση του δεκαδικού συστήματος, γεγονός το οποίο ανατρέπει πλήρως την εικόνα που έχουμε μέχρι τώρα για την επιστήμη και τις εφαρμογές της στον αρχαίο κόσμο και μάλιστα τόσο νωρίς.


Τη συγκλονιστική αυτή ανακάλυψη πραγματοποίησε ο ερευνητής αιγαιακών γραφών Μηνάς Τσικριτσής, σε πρωτότυπο μαθηματικό κείμενο που βρίσκεται χαραγμένο στον τοίχο του διαδρόμου της μινωικής έπαυλης της Αγίας Τριάδας που είναι πλησίον του ανακτόρου της Φαιστού. Μάλιστα ο Ελληνας ερευνητής τονίζει ότι αντίστοιχα μαθηματικά συναντώνται μόνο στον Ευκλείδη, δηλαδή 11 αιώνες αργότερα. 

Η πρωτοποριακή αυτή ανακάλυψη έρχεται να δικαιολογήσει τη δημιουργία των αρχιτεκτονικά πολύπλοκων και πολυδαίδαλων μινωικών ανακτόρων για τα οποία χρειαζόταν ένα συγκροτημένο υπόβαθρο επιστημονικών και θεωρητικών γνώσεων σε διαφορετικά επιστημονικά αντικείμενα και όχι μόνο καλούς εμπειρικούς μαστόρους. Επίσης το ανεπτυγμένο μινωικό εμπόριο στη Μεσόγειο, η εξελιγμένη μικροτεχνία, η ανακάλυψη ολόκληρου οικισμού στον Ψηλορείτη στα 1.200 μέτρα υψόμετρο (Ζώμινθος) απαιτούσαν μια τεχνολογία αρκετά προωθημένη. 

Ο ερευνητής Μηνάς Τσικριτσής, με τη χρήση μαθηματικού αλγόριθμου, έχει αναγνώσει τη Γραμμική Α' Γραφή, βρίσκοντας πως συγγενεύει με τη Γραμμική Β', ενώ το 70% των εγγράφων της Γραμμικής Α' είναι μία πρώιμη Αιολική Γραφή και το 30% είναι σε μία άγνωστη γραφή πιθανόν Λουβική. Τη μελέτη του εξέδωσαν οι εκδόσεις της Βικελαίας Βιβλιοθήκης του Δήμου Ηρακλείου. 

Μινωικά Μαθηματικά 

Σύμφωνα με τα όσα είπε ο κ. Τσικριτσής στην εφημερίδα Ελευθεροτυπία, «τα αριθμητικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στο δεκαδικό σύστημα της γραμμικής Α' 

είναι όμοια με εκείνα της γραμμικής Β':

* Η κάθετη γραμμή Ι για τη μονάδα Ι 


* Η οριζόντια γραμμή - για τη δεκάδα - 

* Η κουκκίδα ή κύκλος για την εκατοντάδα ο 

* Το σύμβολο για τη χιλιάδα .ο+ 

π.χ. ο αριθμός 1224 γραφόταν ο+ ο ο =Ι Ι Ι Ι 

 Εκτός των ακεραίων αριθμητικών συμβόλων οι Μινωίτες καταγραφείς χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κλασματικών σημείων για τα μέτρα των στερεών και ρευστών προϊόντων. 
   

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα βασικά σύμβολα, όπως συναντώνται στις πινακίδες της γραμμικής Α', που δηλώνουν μεγέθη μέτρησης υγρών και στερεών. Τα περισσότερα έχουν συσχετισθεί, από τον Ε. Bennett και άλλους ερευνητές, με κλασματικά μεγέθη. Στις δύο τελευταίες γραμμές εμφανίζεται ο αντίστοιχος του κλασματικού μεγέθους όγκος σε λίτρα, με αναγωγή στη μονάδα των 144 λίτρων για τα στερεά και των 36 λίτρων για τα υγρά. 


Κλασματικά μεγέθη με αναγωγή στη μονάδα μέτρησης 

Σύμβολο 7 + > λ >7 < <7 τ <λ 

Κλάσμα 1/8 1/5 1/4 1/3 3/8 1/2 5/8 1/6 3/4 5/6 

Στερεα 144 18 28,8 36 48 54 72 90 24 108 120 

Υγρά 36 4,5 7,2 9 12 13,5 18 25 6 27 30 

Για την πολυπλοκότητα των Μινωικών Ανακτόρων και τη χρήση των μαθηματικών, ο κ. Τσικριτσής, επισημαίνει τα εξής: «Στην αρχιτεκτονική κατασκευή των αυλαίων χώρων των ανακτόρων ο W. Graham προσδιόρισε έναν ιερό πόδα 36 εκατοστών (παρατήρησε στην Κνωσό η κεντρική αυλή να έχει διαστάσεις 180Χ90 πόδια, στα Μάλια και Φαιστό 170Χ80 πόδια ενώ στη Ζάκρο 100Χ60 πόδια). Είναι ενδιαφέρον ότι η υποδιαίρεση του ποδιού σε μονάδες (2, 3, 4, 6, 9, 12 και 18) βοηθούσε πιθανόν στις κλασματικές πράξεις». 

Αναλύοντας το σύστημα των Μινωικών Μαθηματικών, ο ίδιος ερευνητής τονίζει: «Σε 32 πινακίδες της γραμμικής Α' υπάρχει, στην τελευταία σειρά, η λέξη ku-ro=χουλο=ούλον, και ακολουθεί το αριθμητικό ποσό, που είναι το άθροισμα των μονάδων που αναγράφονται στις προηγούμενες σειρές. Σε δύο πινακίδες της Αγ. Τριάδας αναγράφεται μερικό άθροισμα με τη λέξη ούλο, και στο τέλος μια γραμμή με τη φράση po-to - ku-ro = po-(s)o- ku-lo, που ερμηνεύεται "ποσόν ούλον" και ακολουθεί το συνολικό άθροισμα των προηγηθέντων μερικών αθροισμάτων». 

Το συγκλονιστικό εύρημα 


Εκτός των παραπάνω καθημερινών τρόπων καταγραφής των μαθηματικών υπολογισμών των αναγκών της μινωικής γραφειοκρατίας, υπάρχει και ένα μοναδικό εύρημα στην Αγ. Τριάδα (έπαυλη πλησίον της Φαιστού). 

Στη βορεινή πλευρά του δωματίου, που είχε τοιχογραφίες με παραστάσεις κρίνων και αγριόγατων που κυνηγούν φασιανούς, μία σκάλα οδηγεί σε ένα διάδρομο με τρεις κολώνες. Ο τοίχος του διαδρόμου είχε επίχρισμα, που είχε 3 εγχάρακτες επιγραφές (graffiti). Οι δύο εγχάρακτες επιγραφές αναφέρουν σε γραμμική Α' τις φράσεις: «αισθάνομαι να με διατρέχει η σκέψη του Διός» και«θεραπεία η σκέψη του Διός». 

Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην τρίτη εγχάρακτη επιγραφή, η οποία φέρει με κλασματικά σύμβολα της γραμμικής Α' τους τέσσερις πρώτους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Το κείμενο της εγχάρακτης επιγραφής παρατηρούμε στην παρατιθέμενη εικόνα. Η μεταγραφή των αριθμητικών σημείων του κειμένου και η μετατροπή τους σε σύγχρονη μορφή είναι η εξής: 

1 1½ 21/4 3 1/4 1/8 ta 3 1/6 

1 3/2 9/4 27/8 στάν 19/6 

Στους παραπάνω όρους της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι επιλύεται ένα σύνθετο κλασματικό πρόβλημα: (1+3/2)+(9/4/27/8) = 19/6. Οπου τα αποτελέσματα των πράξεων αποδίδονται (αντί του=) με την λέξη ta= στάν (αναύξητος επικός τύπος αορίστου β' με σημασία στον Ομηρο ζυγίστηκαν). 

Από την εφημερίδα Ελευθεροτυπία (www.enet.gr)

Το άπειρο

                   
Το άπειρο είναι µια από τις σηµαντικότερες και ταυτόχρονα πιο µυστηριώδεις επιστηµονικές έννοιες. Στην επιστήµη προήλθε από διάφορα ερωτήµατα όπως : το σύµπαν είναι περιορισµένο; έχει αρχή; θα έχει τέλος; ποια η δοµή του µικρόκοσµου; υπάρχει όριο στη διαιρετότητα των υλικών αντικειµένων; Η εµπειρία από µόνη της δεν µπορούσε να δώσει απάντηση κι έτσι το ζήτηµα, αν υπάρχει όριο στη διαιρετότητα των υλικών αντικειµένων, µετατοπίστηκε από την περιοχή της εµπειρίας στο χώρο των µαθηµατικών και της φιλοσοφίας.
«Από αμνημόνευτους χρόνους, το άπειρο συγκινούσε τη ψυχή του ανθρώπου περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο ζήτημα. Είναι δύσκολο να βρει κανείς μια ιδέα που να έχει ερεθίσει τόσο γόνιμα τη νόηση όσο η ιδέα του απείρου. Αλλά και και καμία άλλη έννοια δεν χρήζει οριστικής διασάφησης περισσότερο από αυτήν». 

Ο Gauss (1777- 1855) το 1831 έγραφε για το άπειρο: «Διαμαρτύρομαι για την χρήση μιας άπειρης ποσότητας ως μιας αυτοτελούς και ενιαίας οντότητας. Αυτό δεν επιτρέπεται ποτέ στα μαθηματικά. Το άπειρο δεν είναι παρά ένας τρόπος εκφράσεως, όπου ομιλούμε για όρια ορισμένων πηλίκων τα οποία όρια μπορούν τα πηλίκα να τα πλησιάσουν όσο θέλουμε, ενώ άλλα πηλίκα μπορούν να καταστούν απεριορίστως μεγάλα». 

Οι πρώτες σχολές σοφών και φιλοσόφων στην αρχαία Ελλάδα, αναφερόµενες και ως "προσωκρατικές", επιχείρησαν µια ορθολογική εξήγηση του κόσµου. Η πρωτότυπη ιδέα της προσωκρατικής αντίληψης του κόσµου δόθηκε από τον Αναξίµανδρο τον Μιλήσιο, τον 6ο αιώνα π.Χ. και προτείνει το άπειρο ως πρωταρχικό στοιχείο κάθε όντος. Ο όρος αυτός, η έννοια του οποίου δεν έπαψε ποτέ να συζητιέται, σηµαίνει συγχρόνως άπειρο (απεριόριστο και αιώνιο) και αόριστο (απροσδιόριστο). Υποστήριξε, επίσης, ότι υπάρχουν άπειροι κόσµοι χωρισµένοι µεταξύ τους, ότι οι κόσµοι αυτοί γεννιούνται και, όταν περνούν από την ύπαρξη στην ανυπαρξία, αφοµοιώνονται ξανά µέσα στο άπειρο. 

Ο Αναξαγόρας ο Κλαζοµένιος, θεωρεί πρώτος το άπειρο, από την ποιοτική του όµως έννοια : δεν υπάρχει ελάχιστο κοµµάτι του µικρού, αλλά υπάρχει ένα µικρότερο κοµµάτι· πρώτος επίσης διατυπώνει την αρχή της αφθαρσίας της ύλης. 

Ο ∆ηµόκριτος ο Αβδηρίτης, πίστευε ότι το σύµπαν δεν είναι µόνο άπειρο αλλά και χωρίς κέντρο. Οι οπαδοί της σχολής αυτής -επηρεασµένοι από τους Πυθαγόρειους δέχονταν την ύπαρξη ελάχιστων σωµατιδίων, των ατόµων, που η σκληρότητά τους τα καθιστά αδιαίρετα. Όλοι αυτοί υποστήριζαν ότι η ύλη είναι έπ' άπειρον διαιρετή. 

Η αντίθεση ανάµεσα στις δύο αυτές φιλοσοφικές σχολές (του Αναξίµανδρου από τη µια και του Αναξαγόρα από την άλλη) οξύνθηκε στα µέσα του 5ου αιώνα π.Χ., όταν ο Ζήνων ο Ελεάτης - «ιδρυτής της διαλεκτικής» κατά τον Αριστοτέλη και πατέρας της διαλεκτικής µε την σύγχρονη έννοια του όρου κατά τον Hegel - στον αγώνα του ενάντια στην έπ' άπειρον διαιρετότητα του χώρου και του χρόνου πρότεινε ορισµένα παράδοξα, που µπέρδεψαν τους αντιπάλους του και δεν µπόρεσαν να απαντηθούν ικανοποιητικά µέχρι το τέλος του 19ου αιώνα. Τα πιο γνωστά παράδοξα του Ζήνωνα είναι της ∆ιχοτοµίας και του Αχιλλέα. Το παρά δοξο της ∆ιχοτοµίας δηλώνει ότι το κινούµενο αντικείµενο για να φτάσει στον προορισµό του πρέπει πρώτα να καλύψει τη µισή απόσταση, πιο πριν το ένα τέ- ταρτο της απόδειξης, ακόµη πιο πριν το ένα όγδοο της απόστασης και ούτω κα θεξής. Εφόσον, όµως, ο χώρος είναι διαιρετός έπ' άπειρον αυτή η διαδικασία δεν θα τελειώσει ποτέ. Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας δηλώνει ότι ο Αχιλλέας δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ τη χελώνα, γιατί πρέπει πρώτα να φτάσει στο σηµείο που µόλις εγκατέλειψε εκείνη, και εποµένως η χελώνα βρίσκεται διαρκώς µπροστά. Κατά το πέρασµα των αιώνων οι γνώµες σχετικά µε τα παράδοξα του Ζήνωνα µεταβλήθηκαν πολλές φορές. 

Τα παράδοξα του Ζήνωνα (495-430 π.Χ). 

Να τι έλεγε ο Ζήνωνας: Ο Ωκύπους Αχιλλεύς δεν θα φθάσει ποτέ την προπορευόμενη χελώνα! Αν είναι δυνατόν! 

Για να κατανοήσουμε τη σκέψη του κορυφαίου επιστήμονα, του σοφού Ελεάτη Ζήνωνα, και να πλησιάσουμε το θείο, χωρίς να επαναλάβουμε τα παιδαριώδη λάθη των βιαστικών, πρέπει να εντρυφήσουμε στην έννοια του σημείου. Σημείον εστίν, ού μέρος ουθέν. (Σημείον είναι παν ότι δεν έχει μέρος) βλ. ΕυκλείδουΓεωμετρία Βιβλίο Ι, ορισμοί. Αυτή είναι και η κορυφαία επιστημονική ανακάλυψη που έκανε ποτέ ο άνθρωπος! Είναι κάτι που υπάρχει και δεν υπάρχει! Είναι το κβάντουμ της ανθρώπινης σκέψης! Έχει ακριβώς την ιδιότητα που παρουσιάζουν τα υποατομικά σωματίδια! Πως οδηγήθηκαν οι Αρχαίοι Έλληνες στη σύλληψη ενός τόσου παράλογου ορισμού, που τυχαίνει να είναι η δομική ιδιότητα της ύλης, που συνειδητοποίησαν οι επιστήμονες μόλις στο τέλος του 20ου αιώνα; Πως κατόρθωσε αυτή η φυλή να δομήσει το μαθηματικό της οικοδόμημα πάνω σε πέντε αξιώματα και να δημιουργήσει ένα αξεπέραστο επίτευγμα στον αιώνα τον άπαντα; Και γιατί πέντε και όχι 6 ή 7 ή 17; Πως γνώριζαν αλήθεια ότι αυτά είναι ο ελάχιστος αριθμός για να δομηθεί το μαθηματικό τους μοντέλο, όταν η σύγχρονη επιστήμη κατέληξε μόλις πρόσφατα στο συμπέρασμα ότι το 5ο αίτημα των παραλλήλων δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα υπόλοιπα τέσσερα10; Γιατί η Ελληνική γεωμετρία να είναι η μοναδική επιστήμη μέχρι σήμερα που δεν δίνει ουσιαστικά αντινομίες; Και όταν ο Γερμανός Χάϊζενμπεργκ (βραβείο Νόμπελ στην κβαντική θεωρία) ομολόγησε δημοσίως ότι το θεωρητικό υπόβαθρο της κβαντικής θεωρίας το πήραμε από τον Πλάτωνα έπεσαν όλοι να τον φάνε! Όλοι έσκουζαν να καταργηθεί η γεωμετρία! 

Μέχρι ο Αχιλλέας να διανύσει το προπορευόμενο διάστημα θα περάσει κάποιος χρόνος, οσοδήποτε μικρός, τότε σ' αυτό το χρονικό διάστημα η χελώνα θα έχει μετακινηθεί, έστω κατά λίγο και ούτω καθ' εξής. Το πρόβλήμα είναι πολυπλοκότερο απ' αυτό που παρουσιάζεται στα βιβλία. Η βραδυπορούσα χελώνα είναι εκείνη που ενσαρκώνει την έννοια των σημείων, αφού μπορεί να περάσει αργά-αργά από οποιοδήποτε σημείο. 

Στην αρχή ο αναγνώστης παρατηρεί ότι μεταξύ δύο πολύ κοντινών σημείων π.χ. του 2,04 και 2,040000001 υπάρχουν άπειροι αριθμοί-σημεία, τα: 2,0400000000002, 2,0400000000005, 2,040000000000103,2,04000000000010601 κ.ο.κ. δηλαδή ότι τα διαστήματα μας είναι υπέρπυκνα, έτσι ώστε να μη πέφτει μέσα τους ούτε...σημείο, δημιουργώντας έτσι μία αδιάκοπη συνέχεια ροής σημείων! Και όμως η ευθεία μας έχει...τρύπες! Στις τρύπες αυτές μπαίνουν οι άρρητοι! Και μάλιστα αυτοί είναι περισσότεροι από τους ρητούς! 

Έτσι τώρα το αρχικό μας συνεχές-υπέρπυκνο σημειακό μοντέλο καταρρέει κάτω από το πρίσμα της λογικής! 

Το δίλημμα των Πυθαγορείων (η υπαρξιακή ιδιότητα της πραγματικής ευθείας) 

Το ερώτημα είναι αν μπουν και οι άρρητοι, τότε η ευθεία γίνεται συμπαγής, ώστε να μπορέσει η χελώνα μας να περπατήσει επάνω της και να μη χαθεί σε καμιά τρύπα; Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε με το αξίωμα Dedekind-Cantor15. Το να εισάγεις ένα αμφιλεγόμενο αξίωμα δεν σημαίνει ότι έλυσες ασφαλώς και το πρόβλημα. Ενώ οι Έλληνες "γέμιζαν" την ευθεία τους με κατασκευάσιμους άρρητους, που σήμερα ονομάζονται αλγεβρικοί, ο Cantor δεν εξήγησε ποτέ πως θα βάλουμε πάνω στην ευθεία αριθμούς όπως οι (τετραγωική ρίζα του 5 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 7, τετραγωνική ρίζα του 11 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 5 κτλ). Για μας το πρόβλημα αυτό, ήταν κατ' αρχήν εκείνο που ταλαιπωρούσε τους Πυθαγορείους και όχι το να βρουν αν η διαγώνιος του τετραγώνου είναι ασύμμετρος ως προς την πλευρά του, το οποίο και γνώριζαν! Όπως και να έχουν τα πράγματα, η χελώνα θα περάσει από κάθε σημείο της ευθείας, από το 2,04 το 2,040000001 αλλά εκφράζουμε τη διαφωνία του Ζήνωνα για το αν θα περάσει και από σημεία της μορφής 
(τετραγωική ρίζα του 5 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 7, τετραγωνική ρίζα του 11 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 5). Τι γίνεται όμως αν το διάστημα μεταξύ δύο σημείων είναι μικρότερο από το μήκος Planck (δέκα υψωμένο στην δύναμη -35); Δηλαδή θα περάσει μεταξύ του δέκα υψωμένο στην δύναμη -40 και του δέκα υψωμένο στην δύναμη -42. Θα περάσει και από το σημείο δέκα υψωμένο στην δύναμη -41; Ποιος θα το βεβαιώσει; 

Το χωροχρονικό κβάντουμ και η δομή του Πλατωνικού χωρόχρονου. 

Ας υποθέσουμε πως θα περάσει και από αυτά. Πόσο χρόνο θα κάνει για να διανύσει ένα σημείο; Αν θεωρήσουμε ως χρονική στιγμή το χρόνο που χρειάζεται κάποιος(;) να διανύσει ένα σημείο(;) [εδώ τώρα είναι το πρόβλημα γιατί εισερχόμαστε στην απαγορευμένη περιοχή του μηδενός, όπου παύει να ισχύει κάθε έννοια απλής λογικής], τότε κβαντώνουμε το χρόνο, οπότε σε αυτό το χρονικό διάστημα, ας το ονομάσουμε στιγμή, η χελώνα δεν μπορεί να μείνει ακίνητη, γιατί τότε θα μένει και για τα επόμενα όμοια διαστήματα ακίνητη, οπότε θα είναι διαρκώς ακίνητη. Αν όμως κινηθεί τότε ο Αχιλλέας δεν θα τη φτάσει! Το πρόβλημα μετατοπίζεται στο αν ο χρόνος είναι συνεχής ή κοκκώδης. Είναι όμως συνεχής ή ασυνεχής (κοκκώδης) ο χρόνος; Αυτό εξαρτάται από το χώρο. Είναι συνεχής ή ασυνεχής ο χώρος; Οι Ζήνωνας-Αναξαγόρας έδειξαν ότι είναι ασυνεχώς συνεχής(!), και δεν έχουμε καμία διάθεση για σχήμα οξύμωρο! Οι Godel-Cohen, μετά από χιλιάδες χρόνια δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση! Το ίδιο και τα μικροσωματίδια! Σήμερα, τον 21ο αιώνα, έχει αποδειχθεί από πλήθος ερευνητών που εργάζονται σε υπερσύγχρονα κέντρα επιταχυντών, ότι η παραγόμενη ενέργεια ακτινοβολείται και αυτή με έναν ασυνεχώς-συνεχή τρόπο! 

Το Πλατωνικό δίπολο. 

Ο Πλάτων στον ανεπανάληπτο διάλογο «Παρμενίδης», θεωρεί το ον και το μη ον. Στην πραγματικότητα έχει κάτι, σαν ένα νόμισμα με δύο όψεις. Στη μια, θα λέγαμε βλέπει την Αθηνά (ον) και στην άλλη τη γλαύκα της (μη ον). Όμως το ον και το μη ον στον Πλατωνικό μικρόκοσμο δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα κβαντικό μικροσωματίδιο σε σημερινή σύγχρονη ορολογία, πχ το φωτόνιο που αλλάζει μορφή20. Το βρίσκουμε ως κύμα αλλά και ως σωματίδιο! Ως ον και μη ον! Τι είναι λοιπόν, κύμα ή σωματίδιο; Ας πλησιάσουμε να το δούμε! Όσο και αν προσπαθήσουμε δεν πρόκειται να δούμε τίποτα, όχι γιατί τα ερευνητικά μας όργανα δεν έχουν τελειοποιηθεί στο βαθμό που θα θέλαμε, αλλά γιατί ισχύει η αρχή της αβεβαιότητας των Κρατύλου-Χάϊζενμεργκ, που όσο και αν προοδεύσουμε21 δεν θα λύσουμε το πρόβλημα. Ο μεγαλοφυής Πλάτων εντόπισε το πρόβλημα της αβεβαιότητας στο διάλογο Κρατύλος όπως έχουμε αναφέρει. Τελικά επινοεί μια καταπληκτική λέξη για αυτό που εμείς παραπάνω ονομάσαμε στιγμή, που έχει μείνει στην αιωνιότητα, για να προσδιορίσει τη χρονική διάρκεια που απαιτείται για να μεταβληθεί το ον σε μη ον και αντίθετα. Η λέξη που χρησιμοποιεί είναι ΕΞΑΙΦΝΗΣ. Έτσι κατανοούμε ότι το φωτόνιο μας μεταβάλλεται από σωματίδιο σε κύμα εξαίφνης! Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από τη μια μορφή στην άλλη, η στιγμή, ή το εξαίφνης είναι όπως το σημείο! Υπάρχει και δεν υπάρχει! 

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 

1. Ο χωροχρόνος του Α. Αϊνστάιν: «Για μας τους ορκισμένους φυσικούς, η διάκριση ανάμεσα στο παρελθόν, το παρόν και το μέλλον είναι μια ψευδαίσθηση, ακόμα και αν είναι τόσο επίμονη.», βλ. Ιστορικά της Ελευθεροτυπίας ΑΛΜΠΕΡΤ ΑΪΝΣΤΑΪΝ 20-5-2004. Μετά από χιλιάδες χρόνια οι S. Hawking & R. Penrose απέδειξαν ότι ο χρόνος άρχισε να ρέει τη στιγμή της μεγάλης έκρηξης, οπότε δημιουργήθηκε και ο χώρος. (βλ. και Ιστορικά της Ελευθεροτυπίας ΑΛΜΠΕΡΤ ΑΪΝΣΤΑΪΝ) 

Αξιοσημείωτη παρατήρηση: Ας μη λησμονούμε, ότι μέχρι σήμερα δεν έχει επινοηθεί μονάδα μέτρησης του ενιαίου (;) χωρόχρονου. Έτσι, παρ' όλες τις προσπάθειες κορυφαίων επιστημόνων, χρησιμοποιούμε ακόμη το μέτρο για την μέτρηση του χώρου και το δευτερόλεπτο για την μέτρηση του χρόνου, δηλαδή δύο διαφορετικές μονάδες για τη μέτρηση μιας ύπαρξης (;). 

2. Ο χωρόχρονος του Πλάτωνα: «...Αλλά το ζωντανόν αυτό πρότυπον έχει φύσιν αιώνιον, την οποίαν δεν ήτο δυνατόν να μεταδώση εξ ολοκλήρου και εις τον πλασθέντα κόσμον. Εσκέφθη λοιπόν να κάμη τον κόσμον ως μία κινητήν εικόνα του αιωνίου, και τακτοποιών τον ουρανόν δημιουργεί μίαν αιωνίαν εικόνα της ακινήτου και σταθεράς αιωνιότητος. Η δημιουργηθείσα αυτή εικών, αιωνία και αυτή, κινείται συμφώνως προς τους νόμους των αριθμών. Αυτήν την αιωνίαν κίνησιν της αιωνίου εικόνος την ονομάζομεν χρόνον. Ο δημιουργός δηλαδή εμηχανεύθη, τότε που εδημιουργείτο ο κόσμος, να κάμη τας ημέρας, τας νύκτας, τους μήνας, τα έτη, που δεν υπήρχον πριν γεννηθή ο ουρανός. Όλα αυτά είναι μέρη του χρόνου. Επίσης το παρελθόν και το μέλλον είναι είδη του χρόνου που έχουν γεννηθή. Αυτά ημείς, χωρίς να το εννοούμεν ότι κάμνομεν λάθος, τα αποδίδομεν εις την αιωνίαν ουσίαν. Λέγομεν δηλαδή ότι αυτή υπήρχεν, υπάρχει και θα υπάρχη. Εις αυτήν όμως αρμόζει μόνον το ότι υπάρχει, ενώ το υπήρχε και το θα υπάρχη πρέπει να λέγονται μόνον δια τη γέννησιν, που κινείται μέσα εις τα χρονικά όρια. Διότι αυτά, το υπήρχε και το θα υπάρχη είναι κινήσεις. Η αμετάβλητος όμως και ακίνητος ουσία δεν μπορεί να γίνεται, με την παρέλευση του χρόνου, ούτε γηραιοτέρα ούτε νεωτέρα. Ούτε μπορεί να γεννάται ποτέ, ούτε να έχη γεννηθή, ούτε να έχη γεννηθεί άλλοτε. Ούτε μπορεί να πάσχη έστω και το ελάχιστον από εκείνα που η γένεσις προσεκόλλησεν εις τα δια των αισθήσεων αντιληπτά πράγματα. Αλλά όλα αυτά είναι είδη του χρόνου που μιμείται τον αιώνα και περιστρέφεται κυκλικώς συμφώνως προς τους διέποντας τους αριθμούς νόμους... 
Ο χρόνος λοιπόν εγεννήθη μαζί με τον ουρανόν, δια να εξαφανιστούν μαζί, αν ποτέ εξαφανιστούν, αφού εγεννήθησαν μαζί και κατά το πρότυπον της αιωνίας ουσίας, δια να γίνη όσον το δυνατόν ομοιότερος προς αυτήν...» Πλάτωνος Τίμαιος 37, 10-11 μετάφραση Α. Παπαθεοδώρου, εκδ. Πάπυρος 

3. Ο χωρόχρονος του Πλάτωνα κατά τον Πρόκλο: «Αφού άκουσε...και υπέταξε την ύλη σε σχήματα και την κίνηση σε περιόδους έκανε ταυτόχρονα την πρώτη κόσμο, (σημ. εννοεί τον χώρο στον οποίο υπάρχουν τα σχήματα), και τη δεύτερη χρόνο. Και οι δύο είναι εικόνες του θεού (σημ. εννοεί του ενός θεού, δηλαδή μια και μοναδική εικόνα, που εμείς ονομάζουμε σήμερα χωρόχρονο), της ουσίας του ο κόσμος, της αϊδιότητάς του ο χρόνος, που είναι θεός σε κίνηση, όπως ο κόσμος είναι θεός σε γένεση...» Πρόκλος, Πλατωνικά Ζητήματα Η , εκδ. Κάκτος 

4. Αρχή της απροσδιοριστίας του Κρατύλου (ον και μη ον) ον εννοεί τον αμετάβλητο κόσμο του Παρμενίδη, τον κόσμο των ιδεών, όπου ενυπάρχουν οι ιδέες, τα (αμετάβλητα) μαθηματικά πρότυπα και ως μη ον τον γεμάτο ροή και μεταβολή, αισθητό (υλικό) κόσμο των Ομήρου-Ηρακλείτου. Η Πλατωνική εναλλαγή του όντος σε μη ον και τανάπαλιν περιγράφεται με μία καταπληκτική έκφραση: (το ον) λαμβάνει και αφήνει την ύπαρξη (μη ον) [χωρίς όμως να χάνει ποτέ την υπόστασή του]. Ο Πλατωνικός διάλογος Κρατύλος περιγράφει επακριβώς την απροσδιοριστία κατά τη μεταβολή αυτή, στη μετατροπή δηλαδή του όντος σε μη ον: 

ΚΡΑΤΥΛΟΣ: ΑΠΟΔΟΧΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΟΝΤΟΣ ΤΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΥ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΟΣ 

Εισαγωγή στον Πλατωνικό δυϊσμό, στην κοσμοθέαση του δυαδικού σύμπαντος. 

ΣΩ. Πώς λοιπόν μπορούμε ν' αποδώσουμε το είναι σ' εκείνο πού δεν υπάρχει ποτέ στην ίδια κατάσταση; Γιατί αν σε μια οποιαδήποτε στιγμή σταματά στην ίδια κατάσταση, είναι φανερό ότι εκείνη τη στιγμή δεν μετακινείται καθόλου. Αν όμως πάλι είναι στην ίδια κατάσταση και είναι πάντοτε ίδιο, πώς τότε μπορεί αυτό να μεταβάλλεται ή να κινείται, χωρίς διόλου να απομακρύνεται από τη μορφή του ; 

ΚΡ. Δεν θα το μπορούσε με κανένα τρόπο. (Η διδασκαλία του Ηρακλείτου) Άνάγκη /νέας εξετάσεως 

ΣΩ. Τότε όμως δε θα μπορούσε πια να γίνη γνωστό από κανένα. Γιατί μόλις το πλησίαση εκείνος πού θέλει να το γνωρίση, αυτό θά γίνη άλλο πράγμα και διαφορετικό, και επομένως δε θα είναι πια δυνατόν να γίνη γνωστό ποιο είναι και τί λογής είναι ή κατάσταση του. καμιά γνώση προφανώς δεν μπορεί να γνωρίση το πράγμα εκείνο, με το όποιο καταγίνεται, αν τούτο δεν εχη καμιάν ορισμένη κατάσταση. 

ΚΡ. Έτσι είναι όπως το λες. 

ΣΩ. 'Αλλ' ούτε γνώση μπορούμε να δεχτούμε ότι υπάρχει, Κρατύλε, αν όλα τα πράγματα μεταβάλλονται, και κανένα δε μένη στη θέση του. Γιατί, παραδείγματος χάριν, αν αυτό το πράγμα πού ονομάζομε γνώση, δε μεταβάλλεται από το να είναι γνώση, τότε πάντοτε ή γνώση θα υφίσταται και θα είναι γνώση. Αν όμως και ή ίδια μορφή της γνώσεως μεταβάλλεται, τότε θα μετατραπεί σε μιαν άλλη μορφή γνώσεως και δε θα υπάρχη γνώση. Και αν πάντοτε μεταβάλλεται, ποτέ δε θα είναι γνώση άπ' αυτό το λόγο ακολουθεί ότι δε θα ύπάρχη ούτε υποκείμενο για να τη γνωρίση ούτε πράγμα πού αυτό το υποκείμενο θα γνωρίση. Αν τουναντίον ύπάρχη διαρκώς το υποκείμενο πού γνωρίζει, και υπάρχει εκείνο το γνωστό πράγμα, όπως το κ α λ ό ν , όπως τ ο ά γ α θ ό ν , όπως κάθε ον χωριστά, τότε μου φαίνεται ότι αύτά δέν θα έχουν καμιάν όμοιότητα, για όσα τώρα έμείς λέμε, ούτε με τη ρ ο ή ούτε με την κ ί ν η σ η. Λοιπόν ας προσέξουμε μήπως δεν είναι εύκολο να διευκρινίσουμε, αν αυτά είναι καθώς τα λέμε τώρα, ή είναι αλλιώς, καθώς τα λένε οι της σχολής του Ηρακλείτου και άλλοι πολλοί. Ισως δεν είναι ίδιον πολύ συνετού ανθρώπου να εμπιστεύεται τον εαυτό του και την ψυχή του στα ονόματα, έχοντας πλήρη εμπιστοσύνη σ' αυτά και σ' έκείνους που τά έδωσαν, κ αι νά βεβαιώνη ότι τάχα έχει κάποια γνώση και να κατακρίνη τον εαυτό του και τα όντα ότι δεν υπάρχει τίποτε υγιές σε κανένα πράγμα, άλλ' όλα καταρρέουν σαν αγγεία πήλινα, και γενικά, όπως εκείνοι πού πάσχουν άπό καταρροή, έτσι να παρουσιάζη τα πράγματα στην ίδια κατάσταση, λέγοντας ότι όλα τα πράγματα έχουν προσβληθή από το ρεύμα και την καταρροή. Μπορεί λοιπόν, Κρατύλε, να είναι έτσι, μπορεί όμως και όχι. Ώστε πρέπει να έξετάζης με θάρρος και με προσοχή και να μη παραδέχεσαι τίποτε απερίσκεπτα - γιατί ακόμα είσαι νέος και στο άνθος της ηλικίας - και έπειτα από την εξέταση, αν το βρής, να το μεταδώσης και σε μένα. 

ΚΡ. Μάλιστα, δε θα παραλείψω. Γνώριζε όμως καλά, Σωκράτη, ότι και αύτη τη στιγμή δεν παύω να σκέπτομαι και να εξετάζω αυτό το πρόβλημα πού με ζαλίζει, προτιμώ όμως περισσότερο τη γνώμη του Ηρακλείτου. 

ΣΩ. Άλλη φορά, φίλε μου, θα με διδάξης, στην επιστροφή σου. Σήμερα, όπως έχεις κάμει τις προετοιμασίες σου, πήγαινε στην εξοχή, θα σε ξεπροβοδίση και τούτος εδώ ο Ερμογένης. 

ΚΡ. Όλα αυτά θα γίνουν, Σωκράτη. 'Αλλά και εσύ επίσης προσπάθησε να σκεφθής αυτά τα προβλήματα περισσότερο. .... 

Ο Σωκράτης εδώ διατυπώνει πλήρως την αρχή της απροσδιοριστίας, αφού μας βεβαιώνει ότι δεν δυνάμεθα να προσδιορίσουμε τη μορφή-ύπαρξή του, δηλαδή την ταχύτητα - ορμή, αφού το μόνο χαρακτηριστικό που έχει το ον εδώ (σωστότερα το μη ον) είναι η ταχύτητα της κίνησής του, μα ούτε την θέση του, γιατί μεταβάλλεται και έτσι όταν κάποιος προσπαθήσει να το γνωρίσει (προσδιορίσει) αυτό γίνεται διαφορετικό. Το σπουδαίο είναι ότι προσδιορίζει επακριβώς το ελάττωμα του μη όντος του Κρατύλου-Ηρακλείτου και βεβαιώνει ότι η απροσδιοριστία δεν είναι συμπτωματική, αλλά διαρκής, που οφείλεται στη φύση του μη όντος. (όμοια βλ. και Θεαίτητος 201 e). 

Ο Αριστοτέλης, ένας από τους µεγαλύτερους φιλόσοφους της αρχαιότητας, ασχολήθηκε συστηµατικά µε την έννοια του απείρου και τις ιδιότητές του. 

Οι διαδικασίες που είναι υπεύθυνες για την εξοικείωσή µας µε την έννοια του απείρου είναι δύο: η αθροιστική και η διαιρετική διαδικασία. Η αθροιστική δια- δικασία µπορεί να µας οδηγήσει στη θεώρηση πεπερασµένων αντικειµένων ο- σονδήποτε µεγάλων διαστάσεων. Οι φυσικοί αριθµοί 1, 2, 3, ... , για παράδειγµα είναι αποτέλεσµα µιας αθροιστικής διαδικασίας, που µας επιτρέπει να παράγουµε αριθµούς όσο µεγάλους θέλουµε. Η διαιρετική διαδικασία µας δίνει τη δυνατότητα άπειρης διαίρεσης πεπερασµένων µεγεθών, µε την έννοια πως οποιαδήποτε πράξη τοµής ενός πεπερασµένου µεγέθους µπορεί πάντα να ακολουθείται από µια νέα πράξη τοµής του. 

Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη η ανάγκη να αναρωτηθούµε γύρω από το άπειρο προέρχεται από τις εξής πέντε πηγές : 

α) Από την επαγωγικής υφής πίστη µας πως ο χρόνος είναι χωρίς πέρατα, απέραντος. 

(β) Από τη δυνατότητα ύπαρξης διαδικασιών τµήσης εκτεταµένων µεγεθών, όπου ο αριθµός των πράξεων τµήσης -χωρίς να µπορεί να είναι άπειρος- δεν είναι φραγµένος προς τα πάνω. 

(γ) Από την αέναη παρουσία της γέννησης και της φθοράς κάθε αισθητού αντικειµένου, 

(δ) Από την αντίληψη πως, οτιδήποτε έχει όρια, οριοθετείται πάντα από κάτι άλλο που δεν αποτελεί µέρος του, και εποµένως η ολότητα των πραγµάτων δεν µπορεί να έχει όρια (η ολότητα των πραγµάτων δεν έχει καµία σχέση µε το αριστοτελικό φυσικό σύµπαν που ήταν σφαιρικό και εποµένως πεπερασµένο) και 

(ε) πέµπτος και σπουδαιότερος λόγος το απεριόριστο της ανθρώπινης σκέψης, που συνεπάγεται το απεριόριστο των νοητικών κατασκευών, όπως για παράδειγµα το απεριόριστο των αριθµών και το απεριόριστο των γεωµετρικών κατασκευών. 

Αυτό που είναι αδύνατο για τον Αριστοτέλη είναι η θεώρηση αντικειµένων απείρων διαστάσεων· άπειρα αντικείµενα δεν υπάρχουν. Άπειρες ολότητες αντικειµένων µπορούν να εξετασθούν µόνο εσωτερικά, πράγµα που σηµαίνει ότι για τον Αριστοτέλη έχει νόηµα µόνο η δυνητική σπουδή του απείρου, ενώ το πραγµατικό άπειρο, σαν αντικείµενο, είναι αποτέλεσµα νοητικού άλµατος, που είναι µια δια δικασία µη επιτρεπτή. Το σύµπαν δεν περιέχει άπειρα αντικείµενα· ο άνθρωπος δεν µπορεί να τελειώσει καµιά άπειρη διαδικασία για (παράδειγµα µια διαδικα σία άπειρης αρίθµησης). Πού λοιπόν µπορεί να στηρίξει το ανθρώπινο όν, το αµφιλεγόµενο νοητικό άλµα της αντικειµενοποίησης του απείρου; 

Έγραφε : "Το άπειρο δεν υπάρχει µε τη µορφή ενός απείρου στερεού ή ενός απείρου µεγέθους που γίνεται αντιληπτό από τις αισθήσεις ... Το άπειρο υπάρχει δυνητικά, το άπειρο είναι κίνηση... ". 

Ο Αριστοτέλης παραδεχόταν µόνο την ύπαρξη του δυνητικού απείρου. Για παράδειγµα, ο άρρητος αριθµός που παίρνουµε αν διαιρέσουµε το µήκος κύκλου µε τη διάµετρό του, θα µπορούσε να συλληφθεί σαν διαδοχικές προσεγγίσεις : 

π1=3,14 , π2=3,1459 , π3=3,145926 , π4=3,14592653 , ... χωρίς να υπάρχει φραγµός στον αριθµό των δεκαδικών ψηφίων, οπότε τότε µιλάµε για το "δυνητικό άπειρο" ως προς τον αριθµό των ψηφίων. Ο ίδιος αριθµός θα µπορούσε να δοθεί µε το όνοµα "π" και να θεωρείται σαν ένας τελειωµένος αριθµός, οπότε µιλάµε για "ενεστωτικό" ή "πραγµατικό" άπειρο.Όµοια 1, 2, 3, ... , ν, ... είναι οι φυσικοί αριθµοί µε µια δυναµική γραφή, που σηµαίνει ότι µπορούµε να θεωρούµε οσοδήποτε µεγάλους φυσικούς αριθµούς χωρίς φραγµό, ενώ η γραφή Ν={1, 2, 3, ... , ν, ...} υποδηλώνει ότι το Ν είναι µια τελειωµένη µαθηµατικώς οντότητα και εκφράζει ένα στατικό και τελειωµένο άπειρο. 

Οι αιώνες που ακολούθησαν µέχρι και τον 15ο - 16ο αιώνα σηµαδεύτηκαν από την παρακµή της µάθησης, την εξάπλωση δεισιδαιµονιών, την πίστη στα θαύµατα και οι επιστήµες περιορίστηκαν στο ρόλο της θεραπαινίδας της θεολογίας. Ωστόσο, οι καιροί άλλαζαν. Για να επιλύσουν πρακτικά προβλήµατα, οι επιστήµονες θεωρούσαν πλέον απαραίτητο να εφαρµόζουν µεθόδους απαγορευµένες από την αριστοτέλεια επιστήµη και να χρησιµοποιούν ποσότητες αδιαίρετες και απείρως µικρές. 

Κατά το τέλος του 17ου αιώνα ο Newton και o Leibniz, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, συστηµατοποίησαν τις µεθόδους για την επίλυση τεράστιας ποικιλίας προβληµάτων, µεθόδους στηριγµένες στη χρήση των απείρως µεγάλων και κυρί- ως των απείρως µικρών µεγεθών, των λεγοµένων απειροστών. Έτσι γεννήθηκε η µαθηµατική ανάλυση (ο διαφορικός και ο ολοκληρωτικός λογισµός), που αποτελεί µια από τις σπουδαιότερες δηµιουργίες. ∆εν ήταν όµως µάταιες οι προειδο- ποιήσεις του Αριστοτέλη για την επισφαλή και ασαφή φύση του απείρου και για τις περιπλοκές στις οποίες οδηγεί. Οι µαθητές και οπαδοί των Newton και Leibniz χρησιµοποιούσαν τις αόριστες και αινιγµατικές έννοιες του απείρως µικρού και του απείρως µεγάλου, για να επιλύσουν τα πλέον σύνθετα προβλήµατα στην αστρονοµία, τη φυσική και τη µηχανική. Προχώρησαν όµως χωρίς περίσκεψη. Βιάστηκαν να αθροίσουν άπειρους όρους χωρίς να αναρωτηθούν αν οι κανόνες που ισχύουν στις πράξεις των πεπερασµένων αθροισµάτων εφαρµόζο- νται επίσης και στα άπειρα αθροίσµατα. Ωστόσο, ενώ οι θεµελιώδεις έννοιες του νέου λογισµού φάνταζαν νεφελώδεις στους µαθηµατικούς που είχαν γαλουχηθεί µε την αρχαία αυστηρότητα, οι θριαµβευτικές επιτυχίες του στις πρακτικές εφαρµογές άµβλυναν όλες τις αµφιβολίες για αρκετά µεγάλο χρονικό διάστηµα. 

Ο D' Alembert, έλεγε στους µαθητές του : "Προχωρήστε και η πίστη θα έρθει". Ωστόσο, στα τέλη του 18ου αιώνα άρχισαν να πολλαπλασιάζονται οι περιπτώσεις όπου η λαθεµένη εφαρµογή των απείρως µικρών ποσοτήτων οδηγούσε σε παράδοξα. Το αποτέλεσµα ήταν στις αρχές του 19ου αιώνα να εξοριστούν από τα µα- θηµατικά οι έννοιες του απείρως µικρό και απείρως µεγάλο και να αντικαταστα- θούν από την έννοια του ορίου. Συλλογικό ρόλο σ΄ αυτή την προσπάθεια έπαιξαν οι εργασίες του Abel, του Caushy και του Gauss.

Θαλής ο Μιλήσιος


Κατά τον Αριστοτέλη (Μετά τα Φυσικά, Ι, 983 β 20), ο Θαλής ο Μιλήσιος ήταν ο ιδρυτής της φιλοσοφίας των «φυσικών» ή «φυσιολόγων που ασχολούνταν με την αναζήτηση φυσικών αιτίων και αποστρέφονταν συνεπώς τις θεωρησιακές αφαιρέσεις των «θεολόγων», οι οποίοι κατέφευγαν σε μύθους και υπερφυσικές ερμηνείες. Ο Θαλής συγκαταλεγόταν μεταξύ των περίφημων Επτά Σοφών της Ελλάδας κι ο Ευσέβιος τον παρουσιάζει ως «τον πατέρα της φιλοσοφίας και ιδρυτή της Ιωνικής Σχολής» (Praeparatio evangelica, XIV, 14).
                                         
Οι κυριότερες πηγές πληροφόρησης που διαθέτουμε σχετικά με τον Θαλή είναι ο Ηρόδοτος και ο Διογένης Λαέρτιος. Γεννήθηκε πιθανότατα το 624 π.Χ. και πέθανε το 548 π.Χ. Σύμφωνα με τον Ηρόδοτο, που έζησε ενάμιση αιώνα αργότερα, ο Θαλής είχε φοινικικό αίμα, ήταν δηλαδή Σημίτης, κατ' άλλους όμως συγγραφείς ήταν Μιλήσιος και μάλιστα αριστοκρατικής καταγωγής. 'Οπως και να έχει όμως το πράγμα, το όνομα του πατέρα του Εξάμυος, είναι καρικό, ενώ της μητέρας του, της Κλεοβουλίνης, ελληνικό. Ήταν σύγχρονος των Λυδών βασιλέων Αλυάττη και Κροίσου, του βασιλιά των Περσών Κύρου και του Σόλωνα του Αθηναίου. Από τα χρόνια του ακόμη, έφερε τον τίτλο του μεγάλου σοφού, του επιστήμονα δηλαδή και του σοφού μαζί. Υπάρχουν δύο πασίγνωστα ανέκδοτα που τον παρουσιάζουν άλλοτε ονειροπόλο κι άλλοτε σαν άνθρωπο προικισμένο με οξύτατο πρακτικό πνεύμα. Το πρώτο βρίσκεται στον Θεαίτητο του Πλάτωνα (174α): Κάποτε ο Θαλής παρατηρούσε τον ουρανό και, απορροφημένος καθώς ήταν από τη ρέμβη των άστρων, δεν πρόσεξε ένα πηγάδι που βρισκόταν μπροστά του, μ’ αποτέλεσμα να πέσει μέσα, έτσι αναγκάστηκε να υπομείνει τους χλευασμούς μιας Θρακός δούλης, που θεωρούσε γελοίο τον ζήλο του Θαλή να γνωρίσει τι υπήρχε πάνω από το κεφάλι του, τη στιγμή που δεν ήταν ικανός να δει τι γινόταν μπροστά στα πόδια του.

Ο Αριστοτέλης όμως μας παρουσιάζει έναν Θαλή συνετό: «Ενώ τον κορόιδευαν για τη φτώχεια του και του επισήμαιναν πως σε τίποτα δεν τον ωφελεί η σοφία του, αυτός λέγεται ότι επιδόθηκε στην εξής επιχείρηση: προβλέποντας, χάρη στις αστρονομικές του γνώσεις, πως η σοδειά της ελιάς θα 'ταν καλή κι ενώ ήταν ακόμα χειμώνας, προμηθεύτηκε κάποια χρήματα κι έκλεισε, δίνοντας αρραβώνα (εγγύηση σ.τ.μ.), όλα τα ελαιοτριβεία της Μιλήτου και της Χίου αντί ελάχιστου ενοικίου αφού δεν υπήρχε κανείς άλλος που να δίνει περισσότερα. Όταν πια έφτασε η εποχή της συγκομιδής όλοι έτρεχαν βιαστικά να βρουν ελαιοτριβεία. Τότε ο Θαλής τους τα υπενοικίαζε όσο ήθελε, κερδίζοντας έτσι πολλά χρήματα αλλά και αποδεικνύοντας ότι είναι εύκολο για τους σοφούς να πλουτίσουν αν το θέλουν, οι φιλοσοφικές τους όμως ενασχολήσεις δεν αποσκοπούν στην απόκτηση υλικού πλούτου» (Πολιτικά, Ι, 11, 1259 α 10).

Σύμφωνα με τον Ηρόδοτο (Ι, 170), έπεισε τις ιωνικές πόλεις να συνασπισθούν, προκειμένου να αντιμετωπίσουν την περσική απειλή, και να κάνουν πρωτεύουσα τους την Τέω. ο Διογένης Λαέρτιος (1,25) μάλιστα, ισχυρίζεται πως ο Θαλής απέτρεψε τους Μιλήσιους από το να συμμαχήσουν με τον Κροίσο, το βασιλιά της Λυδίας, όπως αυτός τους το είχε προτείνει, σώζοντας έτσι την πόλη, αφού ο Κύρος, ο βασιλιάς των Περσών, νίκησε τελικά τον Κροίσο.

1. Αστρονομία. Από τον Ηρόδοτο γνωρίζουμε πως ο Θαλής είχε προβλέψει την έκλειψη ηλίου που έθεσε τέρμα στον πόλεμο Λυδών και Μήδων. Η έκλειψη αυτή εντοπίζεται, συνήθως, στις 28 Μαΐου 585 π.Χ. Παρατήρη σε ακόμα πως η Μεγάλη Άρκτος, την οποία ακολουθούσαν συνήθως οι Φοίνικες, αποτελούσε για τους ναυτικούς καλύτερο μέσο προσανατολισμού ώστε να βρίσκουν τον πόλο, παρά η Μικρή Άρκτος, με την οποία εντόπιζαν το στίγμα τους οι Έλληνες θαλασσοπόροι. Του αποδίδεται μάλιστα και μια Ναυτική Αστρολογία, αν και πιθανότερο είναι να μην έγραψε τίποτα Μια άλλη παράδοση πάλι τον φέρει να έχει διαιρέσει πρώτος αυτός το έτος σε 365 ημέρες, κατανέμοντας τες σε 30 ανά μήνα.

2. Μαθηματικά.Οι μαθηματικές του γνώσεις θα πρέπει να προέρχονταν από τους ιερείς της Αιγύπτου και μάλιστα ο ίδιος θα πρέπει να ήταν ο εισηγητής της γεωμετρίας στην Ελλάδα. Ο Πρόκλος του αποδίδει τις εξής ανακαλύψεις:

Α) Ο κύκλος τέμνεται από τη διάμετρο του σε δύο ίσα μέρη.

Β) Οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

Γ) Οι κατά κορυφήν γωνίες δύο ευθειών που τέμνονται είναι ίσες μεταξύ τους.

Δ) Η εγγεγραμμένη στο ημικύκλιο γωνία είναι πάντα ορθή (λέγεται μάλιστα ότι η ανακάλυψη αυτή ενθουσίασε τόσο πολύ τον Θαλή, που θυσίασε ένα βόδι).
                               
Ε) Ένα τρίγωνο είναι δυνατόν να ορισθεί αν είναι γνωστή η βάση του και οι γωνίες της (το θεώρημα αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό της απόστασης των πλοίων μέσα στη θάλασσα). Στις προτάσεις αυτές παραδοσιακά προστίθεται και το λεγόμενο «θεώρημα του Θαλή»: κάθε παράλληλος της πλευράς ενός τριγώνου ορίζει δύο όμοια τρίγωνα. Λέγεται ακόμα πως ο Θαλής κατάφερε να μετρήσει το ύψος των πυραμίδων από το μήκος της σκιάς τους, βάσει της σχέσης ενός, κάθετου στο έδαφος, ραβδιού με τη σκιά του. Λένε τέλος πως εξέτρεψε τον ρου του ποταμού Άλυ, καθιστώντας έτσι δυνατή τη διάβαση του από τα στρατεύματα του Κροίσου.

3. Η κοσμοθεωρία του Θαλή. Η γη επιπλέει στο νερό (Αριστοτέλης, Μετά τα Φυσικά, Α, 3,983 β 21 , Περί Ουρανού, Β, 13, 294 α 28) και το νερό είναι η αρχή των πάντων, (Αριστοτέλης, Μετά τα Φυσικά, Α, 983 β 6 επ.). Αξίζει να σταθεί κανείς στις κεφαλαιώδεις αυτές αποφάνσεις. Συχνά οι Ίωνες αποκαλούνταν υλοζωϊστές (από το ύλη) αν και σήμερα ο όρος αυτός θα πρέπει να γίνεται αποδεκτός μόνον όσο δεν μετατρέπεται σε συνώνυμο του σύγχρονου υλιστές, Θα ήταν άλλωστε πραγματικός αναχρονισμός να υποθέσει κανείς πως οι Έλληνες της εποχής εκείνης θα μπορούσαν να αποφαίνονται ότι τα πάντα πηγάζουν από την ύλη. Ο Α. Ριβώ μάλιστα κατέδειξε (Το πρόβλημα του γίγνεσθαι και η έννοια της ύλης στην ελληνική φιλοσοφία, 1906) πως «το πρόβλημα της ύλης δεν υφίσταται στην αρχαία φιλοσοφία» (σ. 2). Πράγματι, ο Θαλής δεν ήταν ο πρώτος που τόνισε τον ουσιώδη ρόλο του νερού ως αρχής. Οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι, ακόμα κι αυτός ο Όμηρος στις μυθολογίες τους επεφύλασσαν, πριν από αυτόν, μια ιδιαίτερη θέση στο νερό. Άλλωστε η θεμελιώδης σημασία της βροχής για την ανάπτυξη των φυτών, καθώς και του νερού στην ανθρώπινη διατροφή, το θέαμα των ποταμών που παρασέρνουν την ιλύ και δημιουργούν προσχώσεις, η μελέτη της κυκλοφορίας των θρεπτικών χυμών μέσα στους φυτικούς ιστούς και της γονιμοποίησης στα ζώα δεν άφησαναδιά φορους τους Έλληνες. Αποφαινόμενος ο Θαλής ότι το ύδωρ είναι αρχή των πάντων, ίσως απολαμβάνει δίκαια τις τιμές που του επιφυλάσσει ο Μπέρνετ (σ. 48), λέγοντας πως ο Μιλήσιος φιλόσοφος δεν αναρωτάται πλέον περί του τι υπήρχε πριν απ' αυτό που τώρα υπάρχει, αλλά αντίθετα αναζητά από τι είναι φτιαγμένος ο κόσμος. Εκείνο όμως που συνιστά την ιδιαιτερότητα του στοχασμού του είναι τελικά η θεώρηση που είχε για την ενότητα του κόσμου, στην οποία εμμένοντας ο Νίτσε αντικρίζει μια γιγαντιαία γενίκευση»: «Ο Θαλής αντιλήφθηκε την ενότητα του Είναι κι όταν θέλησε να την εκφράσει μίλησε για το νερό». Αν όμως το νερό είναι η αρχή των πάντων, δεν πρέπει να ξεχνάμε πως «πάντα πλήρη θεῶν εἶναι» (Αριστοτέλης, Περί Ψυχής, 411 α 7) και πως ο κόσμος έχει ψυχή: το κεχριμπάρι κι ο μαγνήτης μας δείχνουν πως και στο παραμικρό πράγμα υπάρχει ένα πνεύμα που το ζωντανεύει.

Ας αναφερθεί, τέλος, πως του αποδίδεται η πατρότητα της περίφημης ρήσης «γνώθι σαυτόν» και ότι κατά τον Διογένη Λαέρτιο (Α, 35) φέρονται ως δικά του τα παρακάτω αποφθέγματα: «Αρχαιότερο από όλα τα όντα είναι ο θεός, γιατί είναι αγέννητος. Το ωραιότερο πράγμα είναι ο κόσμος, γιατί είναι δημιούργημα του θεού. Το μεγαλύτερο πράγμα είναι ο χώρος, γιατί μπορεί να περιλάβει τα πάντα. Το πιο ισχυρό είναι η ανάγκη, γιατί κυριαρχεί πάνω σε όλα. Το πιο σοφό είναι ο χρόνος, γιατί αποκαλύπτει τα πάντα».

Κυριακή, 13 Νοεμβρίου 2011

Θαυμάστε!

Κοινωνική Μηχανική : το πείραμα των 5 πιθήκων

Η νέα διαφήμιση του Jumbo με τον Γιωργάκη και την μαμά του

Ποια σχέση έχει η τράπουλα με το χρόνο;


Η τράπουλα αποτελείται από σύμβολα, νούμερα και φιγούρες, ενώ ο αριθμός των χαρτιών της είναι συγκεκριμένος. Αν όλα αυτά τα αναλύσουμε, η τράπουλα έχει άμεση σχέση με το χρόνο. Δείτε πώς…

1. Κάθε τράπουλα έχει συνολικά 365 σύμβολα σε όλα τα χαρτιά της, δηλαδή όσες είναι οι μέρες του χρόνου!

2. Επίσης, έχει 52 φύλλα, δηλαδή όσες είναι οι εβδομάδες ανά έτος!

3. Έχει 13 φύλλα με το ίδιο σύμβολο, δηλαδή όσες είναι οι εβδομάδες κάθε εποχής του χρόνου!

4. Έχει συνολικά 4 σύμβολα (μπαστούνι, τριφύλλι, καρό και κούπα), δηλαδή όσες είναι οι εποχές του έτους!

5. Τέλος, έχει 12 φιγούρες, δηλαδή όσοι είναι και οι μήνες του έτους!

3G-Carnaval de Québec Hotel Ruby Foo's - Montreal

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/tour/08rubylobby/08rubylobby.html

3G-Quais du Vieux-Port de Montréal

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις!!!
http://photo.photojpl.com/tour/08feuxsurglace/08feuxsurglace.html

3G-Québec Palais des Congrès à Montreal Feux sur glace

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/tour/level5-couloir510-palais/palais-couloir-niveau5.html

3G-Juin 2009 Hôtel de Glace

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/tour/09hotelglace/09hotelglace.html

3G- Québec concert d'Oliver Jones

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/tour/oliver-jones/astral-oliver-jones.html

3G-Chapelle de la Maison Mère-Mallet

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/flash/08mallet.html

3G-Notre Dame de Bon secours à Montreal

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/flash/08notredbs.html

3G-Chicoutimiis Une centrale du Michigan Un incendie majeur

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/tour/08feulachine/08feulachine.html

3G-Cathédrale Saint-François-Xavier

Κάνε κλικ στα κόκκινα link και θα εκπλαγείς! Πάτησε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο της εικόνας και σύρε το προς όλες τις κατευθύνσεις ! ! !
http://photo.photojpl.com/tour/08chicoutimi/chicoutimi-cathedral.html