Το άπειρο

                   

Το άπειρο είναι µια από τις σηµαντικότερες και ταυτόχρονα πιο µυστηριώδεις επιστηµονικές έννοιες. Στην επιστήµη προήλθε από διάφορα ερωτήµατα όπως : το σύµπαν είναι περιορισµένο; έχει αρχή; θα έχει τέλος; ποια η δοµή του µικρόκοσµου; υπάρχει όριο στη διαιρετότητα των υλικών αντικειµένων; Η εµπειρία από µόνη της δεν µπορούσε να δώσει απάντηση κι έτσι το ζήτηµα, αν υπάρχει όριο στη διαιρετότητα των υλικών αντικειµένων, µετατοπίστηκε από την περιοχή της εµπειρίας στο χώρο των µαθηµατικών και της φιλοσοφίας.

«Από αμνημόνευτους χρόνους, το άπειρο συγκινούσε τη ψυχή του ανθρώπου περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο ζήτημα. Είναι δύσκολο να βρει κανείς μια ιδέα που να έχει ερεθίσει τόσο γόνιμα τη νόηση όσο η ιδέα του απείρου. Αλλά και και καμία άλλη έννοια δεν χρήζει οριστικής διασάφησης περισσότερο από αυτήν». 

Ο Gauss (1777- 1855) το 1831 έγραφε για το άπειρο: «Διαμαρτύρομαι για την χρήση μιας άπειρης ποσότητας ως μιας αυτοτελούς και ενιαίας οντότητας. Αυτό δεν επιτρέπεται ποτέ στα μαθηματικά. Το άπειρο δεν είναι παρά ένας τρόπος εκφράσεως, όπου ομιλούμε για όρια ορισμένων πηλίκων τα οποία όρια μπορούν τα πηλίκα να τα πλησιάσουν όσο θέλουμε, ενώ άλλα πηλίκα μπορούν να καταστούν απεριορίστως μεγάλα». 

Οι πρώτες σχολές σοφών και φιλοσόφων στην αρχαία Ελλάδα, αναφερόµενες και ως "προσωκρατικές", επιχείρησαν µια ορθολογική εξήγηση του κόσµου. Η πρωτότυπη ιδέα της προσωκρατικής αντίληψης του κόσµου δόθηκε από τον Αναξίµανδρο τον Μιλήσιο, τον 6ο αιώνα π.Χ. και προτείνει το άπειρο ως πρωταρχικό στοιχείο κάθε όντος. Ο όρος αυτός, η έννοια του οποίου δεν έπαψε ποτέ να συζητιέται, σηµαίνει συγχρόνως άπειρο (απεριόριστο και αιώνιο) και αόριστο (απροσδιόριστο). Υποστήριξε, επίσης, ότι υπάρχουν άπειροι κόσµοι χωρισµένοι µεταξύ τους, ότι οι κόσµοι αυτοί γεννιούνται και, όταν περνούν από την ύπαρξη στην ανυπαρξία, αφοµοιώνονται ξανά µέσα στο άπειρο. 

Ο Αναξαγόρας ο Κλαζοµένιος, θεωρεί πρώτος το άπειρο, από την ποιοτική του όµως έννοια : δεν υπάρχει ελάχιστο κοµµάτι του µικρού, αλλά υπάρχει ένα µικρότερο κοµµάτι· πρώτος επίσης διατυπώνει την αρχή της αφθαρσίας της ύλης. 

Ο ∆ηµόκριτος ο Αβδηρίτης, πίστευε ότι το σύµπαν δεν είναι µόνο άπειρο αλλά και χωρίς κέντρο. Οι οπαδοί της σχολής αυτής -επηρεασµένοι από τους Πυθαγόρειους δέχονταν την ύπαρξη ελάχιστων σωµατιδίων, των ατόµων, που η σκληρότητά τους τα καθιστά αδιαίρετα. Όλοι αυτοί υποστήριζαν ότι η ύλη είναι έπ' άπειρον διαιρετή. 

Η αντίθεση ανάµεσα στις δύο αυτές φιλοσοφικές σχολές (του Αναξίµανδρου από τη µια και του Αναξαγόρα από την άλλη) οξύνθηκε στα µέσα του 5ου αιώνα π.Χ., όταν ο Ζήνων ο Ελεάτης - «ιδρυτής της διαλεκτικής» κατά τον Αριστοτέλη και πατέρας της διαλεκτικής µε την σύγχρονη έννοια του όρου κατά τον Hegel - στον αγώνα του ενάντια στην έπ' άπειρον διαιρετότητα του χώρου και του χρόνου πρότεινε ορισµένα παράδοξα, που µπέρδεψαν τους αντιπάλους του και δεν µπόρεσαν να απαντηθούν ικανοποιητικά µέχρι το τέλος του 19ου αιώνα. Τα πιο γνωστά παράδοξα του Ζήνωνα είναι της ∆ιχοτοµίας και του Αχιλλέα. Το παρά δοξο της ∆ιχοτοµίας δηλώνει ότι το κινούµενο αντικείµενο για να φτάσει στον προορισµό του πρέπει πρώτα να καλύψει τη µισή απόσταση, πιο πριν το ένα τέ- ταρτο της απόδειξης, ακόµη πιο πριν το ένα όγδοο της απόστασης και ούτω κα θεξής. Εφόσον, όµως, ο χώρος είναι διαιρετός έπ' άπειρον αυτή η διαδικασία δεν θα τελειώσει ποτέ. Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας δηλώνει ότι ο Αχιλλέας δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ τη χελώνα, γιατί πρέπει πρώτα να φτάσει στο σηµείο που µόλις εγκατέλειψε εκείνη, και εποµένως η χελώνα βρίσκεται διαρκώς µπροστά. Κατά το πέρασµα των αιώνων οι γνώµες σχετικά µε τα παράδοξα του Ζήνωνα µεταβλήθηκαν πολλές φορές. 

Τα παράδοξα του Ζήνωνα (495-430 π.Χ). 

Να τι έλεγε ο Ζήνωνας: Ο Ωκύπους Αχιλλεύς δεν θα φθάσει ποτέ την προπορευόμενη χελώνα! Αν είναι δυνατόν! 

Για να κατανοήσουμε τη σκέψη του κορυφαίου επιστήμονα, του σοφού Ελεάτη Ζήνωνα, και να πλησιάσουμε το θείο, χωρίς να επαναλάβουμε τα παιδαριώδη λάθη των βιαστικών, πρέπει να εντρυφήσουμε στην έννοια του σημείου. Σημείον εστίν, ού μέρος ουθέν. (Σημείον είναι παν ότι δεν έχει μέρος) βλ. ΕυκλείδουΓεωμετρία Βιβλίο Ι, ορισμοί. Αυτή είναι και η κορυφαία επιστημονική ανακάλυψη που έκανε ποτέ ο άνθρωπος! Είναι κάτι που υπάρχει και δεν υπάρχει! Είναι το κβάντουμ της ανθρώπινης σκέψης! Έχει ακριβώς την ιδιότητα που παρουσιάζουν τα υποατομικά σωματίδια! Πως οδηγήθηκαν οι Αρχαίοι Έλληνες στη σύλληψη ενός τόσου παράλογου ορισμού, που τυχαίνει να είναι η δομική ιδιότητα της ύλης, που συνειδητοποίησαν οι επιστήμονες μόλις στο τέλος του 20ου αιώνα; Πως κατόρθωσε αυτή η φυλή να δομήσει το μαθηματικό της οικοδόμημα πάνω σε πέντε αξιώματα και να δημιουργήσει ένα αξεπέραστο επίτευγμα στον αιώνα τον άπαντα; Και γιατί πέντε και όχι 6 ή 7 ή 17; Πως γνώριζαν αλήθεια ότι αυτά είναι ο ελάχιστος αριθμός για να δομηθεί το μαθηματικό τους μοντέλο, όταν η σύγχρονη επιστήμη κατέληξε μόλις πρόσφατα στο συμπέρασμα ότι το 5ο αίτημα των παραλλήλων δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα υπόλοιπα τέσσερα10; Γιατί η Ελληνική γεωμετρία να είναι η μοναδική επιστήμη μέχρι σήμερα που δεν δίνει ουσιαστικά αντινομίες; Και όταν ο Γερμανός Χάϊζενμπεργκ (βραβείο Νόμπελ στην κβαντική θεωρία) ομολόγησε δημοσίως ότι το θεωρητικό υπόβαθρο της κβαντικής θεωρίας το πήραμε από τον Πλάτωνα έπεσαν όλοι να τον φάνε! Όλοι έσκουζαν να καταργηθεί η γεωμετρία! 

Μέχρι ο Αχιλλέας να διανύσει το προπορευόμενο διάστημα θα περάσει κάποιος χρόνος, οσοδήποτε μικρός, τότε σ' αυτό το χρονικό διάστημα η χελώνα θα έχει μετακινηθεί, έστω κατά λίγο και ούτω καθ' εξής. Το πρόβλήμα είναι πολυπλοκότερο απ' αυτό που παρουσιάζεται στα βιβλία. Η βραδυπορούσα χελώνα είναι εκείνη που ενσαρκώνει την έννοια των σημείων, αφού μπορεί να περάσει αργά-αργά από οποιοδήποτε σημείο. 

Στην αρχή ο αναγνώστης παρατηρεί ότι μεταξύ δύο πολύ κοντινών σημείων π.χ. του 2,04 και 2,040000001 υπάρχουν άπειροι αριθμοί-σημεία, τα: 2,0400000000002, 2,0400000000005, 2,040000000000103,2,04000000000010601 κ.ο.κ. δηλαδή ότι τα διαστήματα μας είναι υπέρπυκνα, έτσι ώστε να μη πέφτει μέσα τους ούτε...σημείο, δημιουργώντας έτσι μία αδιάκοπη συνέχεια ροής σημείων! Και όμως η ευθεία μας έχει...τρύπες! Στις τρύπες αυτές μπαίνουν οι άρρητοι! Και μάλιστα αυτοί είναι περισσότεροι από τους ρητούς! 

Έτσι τώρα το αρχικό μας συνεχές-υπέρπυκνο σημειακό μοντέλο καταρρέει κάτω από το πρίσμα της λογικής! 

Το δίλημμα των Πυθαγορείων (η υπαρξιακή ιδιότητα της πραγματικής ευθείας) 

Το ερώτημα είναι αν μπουν και οι άρρητοι, τότε η ευθεία γίνεται συμπαγής, ώστε να μπορέσει η χελώνα μας να περπατήσει επάνω της και να μη χαθεί σε καμιά τρύπα; Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε με το αξίωμα Dedekind-Cantor15. Το να εισάγεις ένα αμφιλεγόμενο αξίωμα δεν σημαίνει ότι έλυσες ασφαλώς και το πρόβλημα. Ενώ οι Έλληνες "γέμιζαν" την ευθεία τους με κατασκευάσιμους άρρητους, που σήμερα ονομάζονται αλγεβρικοί, ο Cantor δεν εξήγησε ποτέ πως θα βάλουμε πάνω στην ευθεία αριθμούς όπως οι (τετραγωική ρίζα του 5 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 7, τετραγωνική ρίζα του 11 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 5 κτλ). Για μας το πρόβλημα αυτό, ήταν κατ' αρχήν εκείνο που ταλαιπωρούσε τους Πυθαγορείους και όχι το να βρουν αν η διαγώνιος του τετραγώνου είναι ασύμμετρος ως προς την πλευρά του, το οποίο και γνώριζαν! Όπως και να έχουν τα πράγματα, η χελώνα θα περάσει από κάθε σημείο της ευθείας, από το 2,04 το 2,040000001 αλλά εκφράζουμε τη διαφωνία του Ζήνωνα για το αν θα περάσει και από σημεία της μορφής 

(τετραγωική ρίζα του 5 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 7, τετραγωνική ρίζα του 11 υψωμένη στην τετραγωνική ρίζα του 5). Τι γίνεται όμως αν το διάστημα μεταξύ δύο σημείων είναι μικρότερο από το μήκος Planck (δέκα υψωμένο στην δύναμη -35); Δηλαδή θα περάσει μεταξύ του δέκα υψωμένο στην δύναμη -40 και του δέκα υψωμένο στην δύναμη -42. Θα περάσει και από το σημείο δέκα υψωμένο στην δύναμη -41; Ποιος θα το βεβαιώσει; 

Το χωροχρονικό κβάντουμ και η δομή του Πλατωνικού χωρόχρονου. 

Ας υποθέσουμε πως θα περάσει και από αυτά. Πόσο χρόνο θα κάνει για να διανύσει ένα σημείο; Αν θεωρήσουμε ως χρονική στιγμή το χρόνο που χρειάζεται κάποιος(;) να διανύσει ένα σημείο(;) [εδώ τώρα είναι το πρόβλημα γιατί εισερχόμαστε στην απαγορευμένη περιοχή του μηδενός, όπου παύει να ισχύει κάθε έννοια απλής λογικής], τότε κβαντώνουμε το χρόνο, οπότε σε αυτό το χρονικό διάστημα, ας το ονομάσουμε στιγμή, η χελώνα δεν μπορεί να μείνει ακίνητη, γιατί τότε θα μένει και για τα επόμενα όμοια διαστήματα ακίνητη, οπότε θα είναι διαρκώς ακίνητη. Αν όμως κινηθεί τότε ο Αχιλλέας δεν θα τη φτάσει! Το πρόβλημα μετατοπίζεται στο αν ο χρόνος είναι συνεχής ή κοκκώδης. Είναι όμως συνεχής ή ασυνεχής (κοκκώδης) ο χρόνος; Αυτό εξαρτάται από το χώρο. Είναι συνεχής ή ασυνεχής ο χώρος; Οι Ζήνωνας-Αναξαγόρας έδειξαν ότι είναι ασυνεχώς συνεχής(!), και δεν έχουμε καμία διάθεση για σχήμα οξύμωρο! Οι Godel-Cohen, μετά από χιλιάδες χρόνια δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση! Το ίδιο και τα μικροσωματίδια! Σήμερα, τον 21ο αιώνα, έχει αποδειχθεί από πλήθος ερευνητών που εργάζονται σε υπερσύγχρονα κέντρα επιταχυντών, ότι η παραγόμενη ενέργεια ακτινοβολείται και αυτή με έναν ασυνεχώς-συνεχή τρόπο! 

Το Πλατωνικό δίπολο. 

Ο Πλάτων στον ανεπανάληπτο διάλογο «Παρμενίδης», θεωρεί το ον και το μη ον. Στην πραγματικότητα έχει κάτι, σαν ένα νόμισμα με δύο όψεις. Στη μια, θα λέγαμε βλέπει την Αθηνά (ον) και στην άλλη τη γλαύκα της (μη ον). Όμως το ον και το μη ον στον Πλατωνικό μικρόκοσμο δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα κβαντικό μικροσωματίδιο σε σημερινή σύγχρονη ορολογία, πχ το φωτόνιο που αλλάζει μορφή20. Το βρίσκουμε ως κύμα αλλά και ως σωματίδιο! Ως ον και μη ον! Τι είναι λοιπόν, κύμα ή σωματίδιο; Ας πλησιάσουμε να το δούμε! Όσο και αν προσπαθήσουμε δεν πρόκειται να δούμε τίποτα, όχι γιατί τα ερευνητικά μας όργανα δεν έχουν τελειοποιηθεί στο βαθμό που θα θέλαμε, αλλά γιατί ισχύει η αρχή της αβεβαιότητας των Κρατύλου-Χάϊζενμεργκ, που όσο και αν προοδεύσουμε21 δεν θα λύσουμε το πρόβλημα. Ο μεγαλοφυής Πλάτων εντόπισε το πρόβλημα της αβεβαιότητας στο διάλογο Κρατύλος όπως έχουμε αναφέρει. Τελικά επινοεί μια καταπληκτική λέξη για αυτό που εμείς παραπάνω ονομάσαμε στιγμή, που έχει μείνει στην αιωνιότητα, για να προσδιορίσει τη χρονική διάρκεια που απαιτείται για να μεταβληθεί το ον σε μη ον και αντίθετα. Η λέξη που χρησιμοποιεί είναι ΕΞΑΙΦΝΗΣ. Έτσι κατανοούμε ότι το φωτόνιο μας μεταβάλλεται από σωματίδιο σε κύμα εξαίφνης! Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από τη μια μορφή στην άλλη, η στιγμή, ή το εξαίφνης είναι όπως το σημείο! Υπάρχει και δεν υπάρχει! 

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 

1. Ο χωροχρόνος του Α. Αϊνστάιν: «Για μας τους ορκισμένους φυσικούς, η διάκριση ανάμεσα στο παρελθόν, το παρόν και το μέλλον είναι μια ψευδαίσθηση, ακόμα και αν είναι τόσο επίμονη.», βλ. Ιστορικά της Ελευθεροτυπίας ΑΛΜΠΕΡΤ ΑΪΝΣΤΑΪΝ 20-5-2004. Μετά από χιλιάδες χρόνια οι S. Hawking & R. Penrose απέδειξαν ότι ο χρόνος άρχισε να ρέει τη στιγμή της μεγάλης έκρηξης, οπότε δημιουργήθηκε και ο χώρος. (βλ. και Ιστορικά της Ελευθεροτυπίας ΑΛΜΠΕΡΤ ΑΪΝΣΤΑΪΝ) 

Αξιοσημείωτη παρατήρηση: Ας μη λησμονούμε, ότι μέχρι σήμερα δεν έχει επινοηθεί μονάδα μέτρησης του ενιαίου (;) χωρόχρονου. Έτσι, παρ' όλες τις προσπάθειες κορυφαίων επιστημόνων, χρησιμοποιούμε ακόμη το μέτρο για την μέτρηση του χώρου και το δευτερόλεπτο για την μέτρηση του χρόνου, δηλαδή δύο διαφορετικές μονάδες για τη μέτρηση μιας ύπαρξης (;). 

2. Ο χωρόχρονος του Πλάτωνα: «...Αλλά το ζωντανόν αυτό πρότυπον έχει φύσιν αιώνιον, την οποίαν δεν ήτο δυνατόν να μεταδώση εξ ολοκλήρου και εις τον πλασθέντα κόσμον. Εσκέφθη λοιπόν να κάμη τον κόσμον ως μία κινητήν εικόνα του αιωνίου, και τακτοποιών τον ουρανόν δημιουργεί μίαν αιωνίαν εικόνα της ακινήτου και σταθεράς αιωνιότητος. Η δημιουργηθείσα αυτή εικών, αιωνία και αυτή, κινείται συμφώνως προς τους νόμους των αριθμών. Αυτήν την αιωνίαν κίνησιν της αιωνίου εικόνος την ονομάζομεν χρόνον. Ο δημιουργός δηλαδή εμηχανεύθη, τότε που εδημιουργείτο ο κόσμος, να κάμη τας ημέρας, τας νύκτας, τους μήνας, τα έτη, που δεν υπήρχον πριν γεννηθή ο ουρανός. Όλα αυτά είναι μέρη του χρόνου. Επίσης το παρελθόν και το μέλλον είναι είδη του χρόνου που έχουν γεννηθή. Αυτά ημείς, χωρίς να το εννοούμεν ότι κάμνομεν λάθος, τα αποδίδομεν εις την αιωνίαν ουσίαν. Λέγομεν δηλαδή ότι αυτή υπήρχεν, υπάρχει και θα υπάρχη. Εις αυτήν όμως αρμόζει μόνον το ότι υπάρχει, ενώ το υπήρχε και το θα υπάρχη πρέπει να λέγονται μόνον δια τη γέννησιν, που κινείται μέσα εις τα χρονικά όρια. Διότι αυτά, το υπήρχε και το θα υπάρχη είναι κινήσεις. Η αμετάβλητος όμως και ακίνητος ουσία δεν μπορεί να γίνεται, με την παρέλευση του χρόνου, ούτε γηραιοτέρα ούτε νεωτέρα. Ούτε μπορεί να γεννάται ποτέ, ούτε να έχη γεννηθή, ούτε να έχη γεννηθεί άλλοτε. Ούτε μπορεί να πάσχη έστω και το ελάχιστον από εκείνα που η γένεσις προσεκόλλησεν εις τα δια των αισθήσεων αντιληπτά πράγματα. Αλλά όλα αυτά είναι είδη του χρόνου που μιμείται τον αιώνα και περιστρέφεται κυκλικώς συμφώνως προς τους διέποντας τους αριθμούς νόμους... 

Ο χρόνος λοιπόν εγεννήθη μαζί με τον ουρανόν, δια να εξαφανιστούν μαζί, αν ποτέ εξαφανιστούν, αφού εγεννήθησαν μαζί και κατά το πρότυπον της αιωνίας ουσίας, δια να γίνη όσον το δυνατόν ομοιότερος προς αυτήν...» Πλάτωνος Τίμαιος 37, 10-11 μετάφραση Α. Παπαθεοδώρου, εκδ. Πάπυρος 

3. Ο χωρόχρονος του Πλάτωνα κατά τον Πρόκλο: «Αφού άκουσε...και υπέταξε την ύλη σε σχήματα και την κίνηση σε περιόδους έκανε ταυτόχρονα την πρώτη κόσμο, (σημ. εννοεί τον χώρο στον οποίο υπάρχουν τα σχήματα), και τη δεύτερη χρόνο. Και οι δύο είναι εικόνες του θεού (σημ. εννοεί του ενός θεού, δηλαδή μια και μοναδική εικόνα, που εμείς ονομάζουμε σήμερα χωρόχρονο), της ουσίας του ο κόσμος, της αϊδιότητάς του ο χρόνος, που είναι θεός σε κίνηση, όπως ο κόσμος είναι θεός σε γένεση...» Πρόκλος, Πλατωνικά Ζητήματα Η , εκδ. Κάκτος 

4. Αρχή της απροσδιοριστίας του Κρατύλου (ον και μη ον) ον εννοεί τον αμετάβλητο κόσμο του Παρμενίδη, τον κόσμο των ιδεών, όπου ενυπάρχουν οι ιδέες, τα (αμετάβλητα) μαθηματικά πρότυπα και ως μη ον τον γεμάτο ροή και μεταβολή, αισθητό (υλικό) κόσμο των Ομήρου-Ηρακλείτου. Η Πλατωνική εναλλαγή του όντος σε μη ον και τανάπαλιν περιγράφεται με μία καταπληκτική έκφραση: (το ον) λαμβάνει και αφήνει την ύπαρξη (μη ον) [χωρίς όμως να χάνει ποτέ την υπόστασή του]. Ο Πλατωνικός διάλογος Κρατύλος περιγράφει επακριβώς την απροσδιοριστία κατά τη μεταβολή αυτή, στη μετατροπή δηλαδή του όντος σε μη ον: 

ΚΡΑΤΥΛΟΣ: ΑΠΟΔΟΧΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΟΝΤΟΣ ΤΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΥ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΟΣ 

Εισαγωγή στον Πλατωνικό δυϊσμό, στην κοσμοθέαση του δυαδικού σύμπαντος. 

ΣΩ. Πώς λοιπόν μπορούμε ν' αποδώσουμε το είναι σ' εκείνο πού δεν υπάρχει ποτέ στην ίδια κατάσταση; Γιατί αν σε μια οποιαδήποτε στιγμή σταματά στην ίδια κατάσταση, είναι φανερό ότι εκείνη τη στιγμή δεν μετακινείται καθόλου. Αν όμως πάλι είναι στην ίδια κατάσταση και είναι πάντοτε ίδιο, πώς τότε μπορεί αυτό να μεταβάλλεται ή να κινείται, χωρίς διόλου να απομακρύνεται από τη μορφή του ; 

ΚΡ. Δεν θα το μπορούσε με κανένα τρόπο. (Η διδασκαλία του Ηρακλείτου) Άνάγκη /νέας εξετάσεως 

ΣΩ. Τότε όμως δε θα μπορούσε πια να γίνη γνωστό από κανένα. Γιατί μόλις το πλησίαση εκείνος πού θέλει να το γνωρίση, αυτό θά γίνη άλλο πράγμα και διαφορετικό, και επομένως δε θα είναι πια δυνατόν να γίνη γνωστό ποιο είναι και τί λογής είναι ή κατάσταση του. καμιά γνώση προφανώς δεν μπορεί να γνωρίση το πράγμα εκείνο, με το όποιο καταγίνεται, αν τούτο δεν εχη καμιάν ορισμένη κατάσταση. 

ΚΡ. Έτσι είναι όπως το λες. 

ΣΩ. 'Αλλ' ούτε γνώση μπορούμε να δεχτούμε ότι υπάρχει, Κρατύλε, αν όλα τα πράγματα μεταβάλλονται, και κανένα δε μένη στη θέση του. Γιατί, παραδείγματος χάριν, αν αυτό το πράγμα πού ονομάζομε γνώση, δε μεταβάλλεται από το να είναι γνώση, τότε πάντοτε ή γνώση θα υφίσταται και θα είναι γνώση. Αν όμως και ή ίδια μορφή της γνώσεως μεταβάλλεται, τότε θα μετατραπεί σε μιαν άλλη μορφή γνώσεως και δε θα υπάρχη γνώση. Και αν πάντοτε μεταβάλλεται, ποτέ δε θα είναι γνώση άπ' αυτό το λόγο ακολουθεί ότι δε θα ύπάρχη ούτε υποκείμενο για να τη γνωρίση ούτε πράγμα πού αυτό το υποκείμενο θα γνωρίση. Αν τουναντίον ύπάρχη διαρκώς το υποκείμενο πού γνωρίζει, και υπάρχει εκείνο το γνωστό πράγμα, όπως το κ α λ ό ν , όπως τ ο ά γ α θ ό ν , όπως κάθε ον χωριστά, τότε μου φαίνεται ότι αύτά δέν θα έχουν καμιάν όμοιότητα, για όσα τώρα έμείς λέμε, ούτε με τη ρ ο ή ούτε με την κ ί ν η σ η. Λοιπόν ας προσέξουμε μήπως δεν είναι εύκολο να διευκρινίσουμε, αν αυτά είναι καθώς τα λέμε τώρα, ή είναι αλλιώς, καθώς τα λένε οι της σχολής του Ηρακλείτου και άλλοι πολλοί. Ισως δεν είναι ίδιον πολύ συνετού ανθρώπου να εμπιστεύεται τον εαυτό του και την ψυχή του στα ονόματα, έχοντας πλήρη εμπιστοσύνη σ' αυτά και σ' έκείνους που τά έδωσαν, κ αι νά βεβαιώνη ότι τάχα έχει κάποια γνώση και να κατακρίνη τον εαυτό του και τα όντα ότι δεν υπάρχει τίποτε υγιές σε κανένα πράγμα, άλλ' όλα καταρρέουν σαν αγγεία πήλινα, και γενικά, όπως εκείνοι πού πάσχουν άπό καταρροή, έτσι να παρουσιάζη τα πράγματα στην ίδια κατάσταση, λέγοντας ότι όλα τα πράγματα έχουν προσβληθή από το ρεύμα και την καταρροή. Μπορεί λοιπόν, Κρατύλε, να είναι έτσι, μπορεί όμως και όχι. Ώστε πρέπει να έξετάζης με θάρρος και με προσοχή και να μη παραδέχεσαι τίποτε απερίσκεπτα - γιατί ακόμα είσαι νέος και στο άνθος της ηλικίας - και έπειτα από την εξέταση, αν το βρής, να το μεταδώσης και σε μένα. 

ΚΡ. Μάλιστα, δε θα παραλείψω. Γνώριζε όμως καλά, Σωκράτη, ότι και αύτη τη στιγμή δεν παύω να σκέπτομαι και να εξετάζω αυτό το πρόβλημα πού με ζαλίζει, προτιμώ όμως περισσότερο τη γνώμη του Ηρακλείτου. 

ΣΩ. Άλλη φορά, φίλε μου, θα με διδάξης, στην επιστροφή σου. Σήμερα, όπως έχεις κάμει τις προετοιμασίες σου, πήγαινε στην εξοχή, θα σε ξεπροβοδίση και τούτος εδώ ο Ερμογένης. 

ΚΡ. Όλα αυτά θα γίνουν, Σωκράτη. 'Αλλά και εσύ επίσης προσπάθησε να σκεφθής αυτά τα προβλήματα περισσότερο. .... 

Ο Σωκράτης εδώ διατυπώνει πλήρως την αρχή της απροσδιοριστίας, αφού μας βεβαιώνει ότι δεν δυνάμεθα να προσδιορίσουμε τη μορφή-ύπαρξή του, δηλαδή την ταχύτητα - ορμή, αφού το μόνο χαρακτηριστικό που έχει το ον εδώ (σωστότερα το μη ον) είναι η ταχύτητα της κίνησής του, μα ούτε την θέση του, γιατί μεταβάλλεται και έτσι όταν κάποιος προσπαθήσει να το γνωρίσει (προσδιορίσει) αυτό γίνεται διαφορετικό. Το σπουδαίο είναι ότι προσδιορίζει επακριβώς το ελάττωμα του μη όντος του Κρατύλου-Ηρακλείτου και βεβαιώνει ότι η απροσδιοριστία δεν είναι συμπτωματική, αλλά διαρκής, που οφείλεται στη φύση του μη όντος. (όμοια βλ. και Θεαίτητος 201 e). 

Ο Αριστοτέλης, ένας από τους µεγαλύτερους φιλόσοφους της αρχαιότητας, ασχολήθηκε συστηµατικά µε την έννοια του απείρου και τις ιδιότητές του. 

Οι διαδικασίες που είναι υπεύθυνες για την εξοικείωσή µας µε την έννοια του απείρου είναι δύο: η αθροιστική και η διαιρετική διαδικασία. Η αθροιστική δια- δικασία µπορεί να µας οδηγήσει στη θεώρηση πεπερασµένων αντικειµένων ο- σονδήποτε µεγάλων διαστάσεων. Οι φυσικοί αριθµοί 1, 2, 3, ... , για παράδειγµα είναι αποτέλεσµα µιας αθροιστικής διαδικασίας, που µας επιτρέπει να παράγουµε αριθµούς όσο µεγάλους θέλουµε. Η διαιρετική διαδικασία µας δίνει τη δυνατότητα άπειρης διαίρεσης πεπερασµένων µεγεθών, µε την έννοια πως οποιαδήποτε πράξη τοµής ενός πεπερασµένου µεγέθους µπορεί πάντα να ακολουθείται από µια νέα πράξη τοµής του. 

Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη η ανάγκη να αναρωτηθούµε γύρω από το άπειρο προέρχεται από τις εξής πέντε πηγές : 

α) Από την επαγωγικής υφής πίστη µας πως ο χρόνος είναι χωρίς πέρατα, απέραντος. 

(β) Από τη δυνατότητα ύπαρξης διαδικασιών τµήσης εκτεταµένων µεγεθών, όπου ο αριθµός των πράξεων τµήσης -χωρίς να µπορεί να είναι άπειρος- δεν είναι φραγµένος προς τα πάνω. 

(γ) Από την αέναη παρουσία της γέννησης και της φθοράς κάθε αισθητού αντικειµένου, 

(δ) Από την αντίληψη πως, οτιδήποτε έχει όρια, οριοθετείται πάντα από κάτι άλλο που δεν αποτελεί µέρος του, και εποµένως η ολότητα των πραγµάτων δεν µπορεί να έχει όρια (η ολότητα των πραγµάτων δεν έχει καµία σχέση µε το αριστοτελικό φυσικό σύµπαν που ήταν σφαιρικό και εποµένως πεπερασµένο) και 

(ε) πέµπτος και σπουδαιότερος λόγος το απεριόριστο της ανθρώπινης σκέψης, που συνεπάγεται το απεριόριστο των νοητικών κατασκευών, όπως για παράδειγµα το απεριόριστο των αριθµών και το απεριόριστο των γεωµετρικών κατασκευών. 

Αυτό που είναι αδύνατο για τον Αριστοτέλη είναι η θεώρηση αντικειµένων απείρων διαστάσεων· άπειρα αντικείµενα δεν υπάρχουν. Άπειρες ολότητες αντικειµένων µπορούν να εξετασθούν µόνο εσωτερικά, πράγµα που σηµαίνει ότι για τον Αριστοτέλη έχει νόηµα µόνο η δυνητική σπουδή του απείρου, ενώ το πραγµατικό άπειρο, σαν αντικείµενο, είναι αποτέλεσµα νοητικού άλµατος, που είναι µια δια δικασία µη επιτρεπτή. Το σύµπαν δεν περιέχει άπειρα αντικείµενα· ο άνθρωπος δεν µπορεί να τελειώσει καµιά άπειρη διαδικασία για (παράδειγµα µια διαδικα σία άπειρης αρίθµησης). Πού λοιπόν µπορεί να στηρίξει το ανθρώπινο όν, το αµφιλεγόµενο νοητικό άλµα της αντικειµενοποίησης του απείρου; 

Έγραφε : "Το άπειρο δεν υπάρχει µε τη µορφή ενός απείρου στερεού ή ενός απείρου µεγέθους που γίνεται αντιληπτό από τις αισθήσεις ... Το άπειρο υπάρχει δυνητικά, το άπειρο είναι κίνηση... ". 

Ο Αριστοτέλης παραδεχόταν µόνο την ύπαρξη του δυνητικού απείρου. Για παράδειγµα, ο άρρητος αριθµός που παίρνουµε αν διαιρέσουµε το µήκος κύκλου µε τη διάµετρό του, θα µπορούσε να συλληφθεί σαν διαδοχικές προσεγγίσεις : 

π1=3,14 , π2=3,1459 , π3=3,145926 , π4=3,14592653 , ... χωρίς να υπάρχει φραγµός στον αριθµό των δεκαδικών ψηφίων, οπότε τότε µιλάµε για το "δυνητικό άπειρο" ως προς τον αριθµό των ψηφίων. Ο ίδιος αριθµός θα µπορούσε να δοθεί µε το όνοµα "π" και να θεωρείται σαν ένας τελειωµένος αριθµός, οπότε µιλάµε για "ενεστωτικό" ή "πραγµατικό" άπειρο.Όµοια 1, 2, 3, ... , ν, ... είναι οι φυσικοί αριθµοί µε µια δυναµική γραφή, που σηµαίνει ότι µπορούµε να θεωρούµε οσοδήποτε µεγάλους φυσικούς αριθµούς χωρίς φραγµό, ενώ η γραφή Ν={1, 2, 3, ... , ν, ...} υποδηλώνει ότι το Ν είναι µια τελειωµένη µαθηµατικώς οντότητα και εκφράζει ένα στατικό και τελειωµένο άπειρο. 

Οι αιώνες που ακολούθησαν µέχρι και τον 15ο - 16ο αιώνα σηµαδεύτηκαν από την παρακµή της µάθησης, την εξάπλωση δεισιδαιµονιών, την πίστη στα θαύµατα και οι επιστήµες περιορίστηκαν στο ρόλο της θεραπαινίδας της θεολογίας. Ωστόσο, οι καιροί άλλαζαν. Για να επιλύσουν πρακτικά προβλήµατα, οι επιστήµονες θεωρούσαν πλέον απαραίτητο να εφαρµόζουν µεθόδους απαγορευµένες από την αριστοτέλεια επιστήµη και να χρησιµοποιούν ποσότητες αδιαίρετες και απείρως µικρές. 

Κατά το τέλος του 17ου αιώνα ο Newton και o Leibniz, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, συστηµατοποίησαν τις µεθόδους για την επίλυση τεράστιας ποικιλίας προβληµάτων, µεθόδους στηριγµένες στη χρήση των απείρως µεγάλων και κυρί- ως των απείρως µικρών µεγεθών, των λεγοµένων απειροστών. Έτσι γεννήθηκε η µαθηµατική ανάλυση (ο διαφορικός και ο ολοκληρωτικός λογισµός), που αποτελεί µια από τις σπουδαιότερες δηµιουργίες. ∆εν ήταν όµως µάταιες οι προειδο- ποιήσεις του Αριστοτέλη για την επισφαλή και ασαφή φύση του απείρου και για τις περιπλοκές στις οποίες οδηγεί. Οι µαθητές και οπαδοί των Newton και Leibniz χρησιµοποιούσαν τις αόριστες και αινιγµατικές έννοιες του απείρως µικρού και του απείρως µεγάλου, για να επιλύσουν τα πλέον σύνθετα προβλήµατα στην αστρονοµία, τη φυσική και τη µηχανική. Προχώρησαν όµως χωρίς περίσκεψη. Βιάστηκαν να αθροίσουν άπειρους όρους χωρίς να αναρωτηθούν αν οι κανόνες που ισχύουν στις πράξεις των πεπερασµένων αθροισµάτων εφαρµόζο- νται επίσης και στα άπειρα αθροίσµατα. Ωστόσο, ενώ οι θεµελιώδεις έννοιες του νέου λογισµού φάνταζαν νεφελώδεις στους µαθηµατικούς που είχαν γαλουχηθεί µε την αρχαία αυστηρότητα, οι θριαµβευτικές επιτυχίες του στις πρακτικές εφαρµογές άµβλυναν όλες τις αµφιβολίες για αρκετά µεγάλο χρονικό διάστηµα. 

Ο D' Alembert, έλεγε στους µαθητές του : "Προχωρήστε και η πίστη θα έρθει". Ωστόσο, στα τέλη του 18ου αιώνα άρχισαν να πολλαπλασιάζονται οι περιπτώσεις όπου η λαθεµένη εφαρµογή των απείρως µικρών ποσοτήτων οδηγούσε σε παράδοξα. Το αποτέλεσµα ήταν στις αρχές του 19ου αιώνα να εξοριστούν από τα µα- θηµατικά οι έννοιες του απείρως µικρό και απείρως µεγάλο και να αντικαταστα- θούν από την έννοια του ορίου. Συλλογικό ρόλο σ΄ αυτή την προσπάθεια έπαιξαν οι εργασίες του Abel, του Caushy και του Gauss.